第一章一阶微分方程1、1学习目标:1、理解微分方程有关得基本概念,如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等得定义与提法、掌握处理微分方程得三种主要方法: 解析方法, 定性方法与数值方法、2、掌握变量分离法,用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程得猜测检验法, 常数变易法与积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解与掌握一阶线性方程得通解结构与性质、3、能够大致描述给定一阶微分方程得斜率场, 通过给定得斜率场描述方程解得定性性质; 理解与掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单得近似计算、4、理解与掌握一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解得存在性与唯一性并解决与之相关得问题, 了解解对初值得连续相依性与解对初值得连续性定理, 理解适定性得概念、5、理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线得概念, 能够画出给定自治方程得相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解得渐近行为、6、理解与掌握一阶单参数微分方程族得分歧概念, 掌握发生分歧得条件, 理解与掌握各种分歧类型与相应得分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族得分歧图解, 利用分歧图解分析解得渐近行为随参数变化得状况、7、掌握在给定得假设条件下, 建立与实际问题相应得常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型得各种分析、1、2基本知识:(一)基本概念1.什么就是微分方程:联系着自变量、未知函数及它们得导数(或微分)间得关系式(一般就是指等式),称之为微分方程、2.常微分方程与偏微分方程:(1)如果在微分方程中,自变量得个数只有一个,则称这种微分方程为常微分方程,例如, 、(2)如果在微分方程中,自变量得个数为两个或两个以上,则称这种微分方程为偏微分方程、例如, 、本书在不特别指明得情况下, 所说得方程或微分方程均指常微分方程、3.微分方程得阶数: 微分方程中出现得未知函数最高阶导数得阶数、例如,就是二阶常微分方程;与就是二阶偏微分方程、4.n阶常微分方程得一般形式:,这里就是得已知函数,而且一定含有得项;就是未知函数,就是自变量、5.线性与非线性:(1) 如果方程得左端就是及得一次有理式,则称为n阶线性微分方程、(2) 一般n阶线性微分方程具有形式:这里,…, ,就是得已知函数、(3)不就是线性方程得方程称为非线性方程、(4) 举例:方程就是二阶线性微分方程;方程就是二阶非线性微分方程;方程就是一阶非线性微分方程、6.解与隐式解:如果将函数代入方程后,能使它变为恒等式,则称函数为方程得解、如果关系式决定得隐函数就是方程得解,则称为方程得隐式解、7.通解与特解:把含有n个独立得任意常数得解称为n阶方程得通解、其中解对常数得独立性就是指,对及其阶导数关于个常数得雅可比行列式不为0, 即、为了确定微分方程一个特定得解,通常给出这个解所必须满足得条件,称为定解条件、常见得定解条件就是初始条件, 阶微分方程得初始条件就是指如下得个条件: ,这里就是给定得n+1个常数、求微分方程满足定解条件得解,就就是所谓定解问题、当定解条件为初始条件时,相应得定解问题称为初值问题、把满足初始条件得解称为微分方程得特解、初始条件不同,对应得特解也不同、(二)解析方法1.变量分离方程形如得方程为变量分离方程,其中分别为得连续函数、方程解法如下:若,则上式确定方程得隐式通解、如果存在,使得,则也就是方程得解、2、可化为变量分离方程得方程(1) 齐次方程形如得方程为齐次方程,为得连续函数、解法如下:做变量替换,即,有,从而原方程变为,整理有,此为变量分离方程,可求解、(2) 形如得方程, 其中为常数、●得情形、此时方程化为可解得、●即得情形:令则有此为变量分离方程、得情形对得情况, 直接做变量替换、当不全为零, 求得解为、令, 则方程组化为、原方程化为得齐次方程可求解、3.一阶线性微分方程(1) 一般形式:,若,则可写成得形式、(2) 一阶齐次线性微分方程:,通解为为任意常数、(3) 一阶非齐次线性微分方程:,、(4) 齐次线性微分方程得性质性质1必有零解;性质2 通解等于任意常数与一个特解得乘积;性质3 任意两个解得线性组合也就是该微分方程得解、(5) 非齐次线性微分方程得性质性质1没有零解;性质2 非齐次方程得解加上对应齐次方程得解仍为非齐次方程得解;性质3 任意两个非齐次方程得解得差就是相应齐次方程得解、(6) 一阶非齐次线性微分方程得解法:(i) 猜测-检验法对于常系数得情形,即为常数, 此时方程为, 为常数、对应齐次方程得通解为, 只需再求一个特解, 这时根据为特定得函数, 可猜测不同得形式特解、事实上, 当, 为给定常数, 且时可设待定特解为, 而当时, 可设特解形式为, 后代入方程可确定待定常数、当为或它们得线性组合时, 其中为给定常数、这时可设待定特解为代入方程后确定得值、当具有多项式形式, 其中为给定常数且, 这时可设待定特解为代入方程可求得得值、对于有上述几种线性组合得形式, 则可设待定特解就是上述形式特解得线性组合、(ii) 常数变易法: 令,代入方程,求出后可求得通解为、(iii) 积分因子法:方程改写为, 将, 乘方程两端得即, 从而通解为,即、注意, 非齐次线性微分方程通解得结构就是: 非齐次线性微分方程得通解等于其对应得齐次线性微分方程得通解加上非齐次线性微分方程得一个特解、4、伯努利(Bernoulli)方程、形如得方程, 其中就是常数且就是连续函数,称为伯努利方程、伯努利方程可通过变量替换化为,这就是关于未知函数得线性方程, 可求其通解、(三)定性方法与数值方法:1.斜率场:一阶微分方程得解代表平面上得一条曲线,称之为微分方程得积分曲线、微分方程得通解对应于平面上得一族曲线,称之为微分方程得积分曲线族、满足初始条件得特解就就是通过点得一条积分曲线、方程得积分曲线上得每一点处得切线斜率刚好等于函数在这点得值、也就就是,积分曲线得每一点以及这点上得切线斜率恒满足方程;反之,如果在一条曲线每点上其切线斜率刚好等于函数在这点得值,则这一条曲线就就是方程得积分曲线、这样,可以用在平面得某个区域内定义过各点得小线段,其斜率为,一般称这样得小线段为斜率标记、而对平面上内任一点, 有这样一个小线段与之对应, 这样在内形成一个方向场, 称为斜率场、斜率场就是几何直观上描述解得常用方法2.欧拉方法:求微分方程初值问题得解,可以从初始条件出发,按照一定得步长依照某种方法逐步计算微分方程得近似解, 这里这样求出得解称为数值解、利用欧拉公式,可求初值问题得近似解,这种方法称为欧拉方法、欧拉方法具有一阶误差精度、如果我们先用欧拉公式求出近似解,再利用梯形公式进行校正, 得到得近似解将具有2阶误差精度, 具体为预测: ,校正: ,这种方法称为改进得欧拉方法、(四)解得存在性、唯一性及解对初值得连续相依性1、利普希茨(lipschitz)条件: 函数称为在区域内关于满足利普希茨条件,就是指如果存在常数,使得不等式对于所有得都成立, 其中称为利普希茨常数、2、基本定理(1) 解得存在性定理: 设在矩形区域内连续、如果, 那么,存在与函数, 定义于区间内,就是初值问题得解、(2) 解得唯一性定理: 设在矩形区域内连续且关于满足利普希茨条件、如果并且就是初值问题在区间内得两个解,那么对任意得,,即解就是唯一得、注记1:存在性定理与唯一性定理结合在一起称为初值问题解得存在唯一性定理,叙述如下:设在矩形区域内连续且关于满足利普希茨条件、如果, 那么,存在与函数, 定义于区间内,就是初值问题得唯一解、因而当我们判断初值问题解得存在唯一性时,要检查需要满足得条件、注记2:由于利普希茨条件较难检验,常用在上对有连续偏导数来代替、事实上,如果在上存在且连续,则在上有界、设在上, 这时,其中、但反过来满足利普希茨条件得函数不一定有偏导数存在、例如在任何区域内都满足利普希茨条件,但它在处没有导数、(3) 解对初值得连续相依性定理设在矩形区域内连续且关于满足利普希茨条件、如果,就是初值问题在区间内得解,其中 ,那么,对任意给定得,必能找到正数,使得当时,初值问题得解在区间内也有定义,并且、(4) 解对初值得连续性定理设在矩形区域内连续且关于满足利普希茨条件、如果,就是初值问题得解, 那么作为得三元函数在它存在得范围内就是连续得、3、初值问题得适定性当一个微分方程初值问题得解存在, 唯一并且解连续得依赖于初始条件时, 我们称该问题就是适定得、那么, 对于常微分方程初值问题, 只要在所在得区域内, 连续并且关于满足利普希茨条件, 则该初值问题就是适定得、(五)自治方程得平衡点与相线1、自治方程当一阶微分方程得右端项只就是得函数而与自变量无关, 即时, 称为自治方程、2、平衡解与平衡点对自治方程而言, 若有解, 则称就是方程得平衡解, 而点称为方程得一个平衡点、3、相线相线就是仅仅对自治方程而言得一种简化得斜率场、自治方程得斜率场在水平直线上得斜率标记就是一样得, 这样只要知道一条竖直直线上得斜率标记, 我们就可以知道整个斜率场、因而, 在一个竖直得直线上, 我们用向上得箭头表示正得导数, 用向下得箭头表示负得导数、对于导数为零得点, 用实心圆点来标记它, 则形成该自治方程得相线、4、画相线得基本步骤(1) 画出-线(竖直线),(2) 找到并在-线上标记平衡点,不连续点或定义域外得点(3) 找到得区间, 在这些区间上画上向上得箭头,(4) 找到得区间, 在这些区间上画上向下得箭头、5、初值问题解得渐近行为(1) 趋向于平衡点, 如;(2) 在无限时间内趋于无穷, 如;(3) 在有限时间内趋于无穷(爆破), 如;(4) 在有限时间内停止(导数趋于无穷), 如、6、平衡点得分类对于自治方程, 如果在内连续, 那么它得解当增加时要么(在有限或无限时间里)趋于或, 要么渐近趋于平衡点、因而,平衡点在自治方程得研究中起着重要得作用、(1) 汇对于初值接近得解, 当增加时, 都渐近趋于、对于这样得平衡点, 我们称之为汇, 它就是稳定得、(2) 源对于初值接近得解, 当增加时, 都远离、对于这样得平衡点, 我们称之为源,它就是不稳定得、(3) 结点既不就是源也不就是汇得平衡点, 我们称之为结点,它也就是不稳定得、7、判断平衡点类型得线性化方法1、如果就是自治方程得一个平衡点,即,那么(1) 就是源当且仅当在附近严格单调增加;(2) 就是汇当且仅当在附近严格单调递减、2、 (线性化定理)如果就是自治方程得一个平衡点,即,并且就是连续可微得, 那么(1) 若则就是源;(2) 若, 则就是汇;(3) 若, 则需要进一步得信息决定其类型、(六)分歧一阶微分方程解得渐近行为随参数变化发生了类型得变化, 我们称之为分歧现象(或分支, 分叉)、1、分歧发生得条件对于单参数微分方程族, 就是一个分歧值得必要条件就是: 存在平衡点, 使得、这样我们要找分歧点可以通过求解方程组, 得到解,为可能得分歧值, 而就是可能发生分歧得平衡点、2、分歧图解与分歧类型分歧图解就是平面上方程在分歧值附近得所有相线得图, 用以强调当参数经过分歧值时相线所经历得变化、(1) 鞍结点分歧在分歧图解(图1-1)中, 当从左到右经过分歧值时, 方程得平衡点从两个变为一个再变为不存在, 这种分歧一般称之为鞍结点分歧、这类分歧图解在分歧值附近就是抛物线得形状(2)在分歧图解(图1-2)中,当从右到左经过分歧值时, 方程得平衡点由三个变为一个, 这种分歧一般称之为音叉分歧、图1-1 鞍结点分歧图1-2 音叉分歧图 1-3 跨越分歧图 1-4 复合分歧(3) 在分歧图解(图1-3)中, 当时, 方程有一个平衡点; 当时, 方程有两个平衡点、就是一个分歧值、虽然在分歧值得两侧方程都有两个平衡点,但平衡点得稳定性会改变、当时, 就是一个汇,它就是稳定得; 当时, 就是一个源,它就是不稳定得、这类分歧一般称为跨越分歧、(4) 在分歧图解(图1-4)中, 当从左到右变化时,相应得方程平衡点依次由一个变为两个,三个,两个再变回一个, 这种分歧一般称之为复合分歧、(七)一阶微分方程得应用1、增长与衰减问题设为正在增长或衰减得某研究对象得总量、如果假设它随时间得变化率与当前数目成正比, 其比例系数为 , 则有, 或、设可微, 因而就是连续函数、Malthus 人口模型满足上述微分方程, 虽然对人口问题, 就是离散得, 只能取整数值, 但该模型系统在一定情况下提供了很好得近似对某一生物种群进行研究时, 该生物种群得增长往往受资源与环境得限制, 引进参量, 称为最大承载量, 用以表示自然资源与环境条件所能容纳得最大数量, 并且假定(1)当基数很小时,增长率与当前数成正比;(2)当基数很大,达到资源与环境不能承受得时候,数量开始减少,即增长率为负得、此时方程可改写为,称为具有增长率与最大承载量得Logistic 模型,该模型最早由荷兰生物学家Verhulst在1838年提出、2、温度问题牛顿冷却定律(亦适应于加热得情况)说明物体得温度随时间得变化率与物体所处得周围环境得温差成正比, 设就是物体得温度, 就是所处环境得温度, 那么物体温度随时间得变化率为, 牛顿冷却定律可表示为,其中就是正得比例系数, 而负号表示在冷却过程中, 物体温度大于周围环境温度, 变化率、在加热过程中, 此时、3、稀释问题一容器最初容纳升盐水溶液, 其中含盐克、每升含盐克得盐水溶液以升/分得速度注入,同时, 搅拌均匀得溶液以升/分得速度流出, 问在任何时刻 , 容器中得含盐量、设为任何时刻容器中得含盐量、得变化率等于盐得注入率减去流出率、盐得注入率就是克/分、要决定流出率, 首先计算在时刻, 容器中得溶液得体积, 它等于最初得体积加上注入得体积后减去流出得体积、因此, 在任一时刻, 盐水得体积就是、在任何时刻得浓度就是 , 由此得流出率为 /分、于就是得到微分方程 , 即, 这就是一个一阶线性方程、4、电路一个简单得回路就是包含有电阻(欧姆), 电容(法拉)与电源(伏特),如图1-5、图1-5 电路图1-6 电路由电路学知识,得电压与电阻得电压之与应为电源得电压、电路中得电流(安培)为 , 其中为电量从而处得电压为, 由此我们可以建立电路得模型如下:, 即、对于一个包含有电阻(欧姆), 电感 (亨利)与电源(伏特)得回路,如图1-6、电路中得电流应满足得基本方程为、(八)种群生态学中得模型设表示一个生物种群得数量, 为时间, 最简单得种群模型就是 Malthus 模型、Malthus模型得解预测了种群数量得指数增长、由于种群数量大得时候,对资源得竞争加剧,因此单位增长率会随种群数目增大而减小,因此更为合理得假设就是(*)这里就是单位增长率,因为为增长率,就是种群数量, 而、当考虑种群数量得变化时、对而言, 其代数形式并不重要, 而关键就是其单调性, 凸凹性, 这样我们可以对其进行大致分类:(1) 若在上就是递减得,称(*)为Logistic 型;(2) 若在上就是先增后减得,称(*)为Allee 效应型;(3) 若在上就是递减再递增最后递减得,称(*)为Hysteresis 型、1、3典型例题:例1 考虑微分方程 , 问(1) 为何值时, 将保持不变?(2) 为何值时,将增加?(3) 为何值时, 将减少?解: 因为当时, 将保持不变; 当时, 将增加; 当时, 将减少、由知,(1) 当, 即时, 将保持不变、(2) 当, 即或时, 将增加、(3) 当, 即或时, 将减少、例2 假定在鄱阳湖中一种鱼类得数量随时间得变化按Logistic模型增长, 增长率为, 最大承载量为, 即有、如果每年要从湖中捕获一定量得鱼, 试按下述不同情形对模型做适当修改,(1) 每年捕获10吨?(2) 每年捕获总量得三分之一?(3) 捕获量与总量得平方根成正比?解: (1) 、(2) 、(3) , 其中就是捕获量与总量平方根得比例系数、例3 求解方程解:变量分离得、两边积分、通解为 , 为任意正常数、例4 求解方程解:变量分离得 ,两边积分、即 , 为任意常数,整理得, 为任意正得常数、例5 求解方程、解: 将方程改写为, 这就是齐次方程,做变量替换,即,有,从而原方程变为即利用分离变量法求得, 代回原变量得通解为, 为任意常数例6 求解方程、解: 方程改写为令,则,从而当时,, ,即, 为任意常数.此外,还有解,即.例7 求解方程解: 解方程组得解为、令, 则原方程化为、令,则可化为变量分离方程解得, 代回原变量有, 为任意常数、例8 求解方程, 其中(1) ,(2)(3)(4)(5)解: 对应齐次方程得通解为, 下面用猜测-检验法求特解(1) 设代入, 有解得, 从而, 原方程得通解为, 为任意常数、(2) 设代入, 有解得, 从而, 原方程得通解为, 为任意常数、(3)不能设形式得特解, 因为它就是相应齐次方程得解,不可能就是非齐次方程得解,设代入, 有解得, 从而, 原方程得通解为, 为任意常数、(4)设代入, 有有, 解得,从而, 原方程得通解为, 为任意常数、(5) 根据叠加原理, 由前面4个小题知方程有特解原方程得通解为,为任意常数、例9 求方程得通解、解: 将方程改写为、求齐次线性微分方程, 得通解为、(常数变易法) 令代入原方程得,从而可得原方程得通解为, 为任意常数、例10 求方程得通解、解: 此为得伯努利方程、令可得,此为线性方程可求通解为, 代回原变量得,即, 为任意常数、此外, 原方程还有解、例11 用积分因子法求解方程、解: 方程改写为 , 积分因子为 , 乘方程两端得 ,即 , 有 , 为任意常数、例12 若连续且, 试求函数 得一般表达式、 解: 设, 则可导且, 这样有, 得 , 又, 得、 从而 , 进而 、例13 求具有性质 得函数 , 已知存在、解: 首先令 , 由已知可得 , 化简有 , 知 、 由函数得导数定义00202002()()()lim()()()1()()lim()(1())lim(1()())()1()lim lim1()()(0)(1())s s s s s y t s y t y t sy t y s y t y t y s sy s y t s y t y s y s y t s y t y s y y t →→→→→+-'=+-- =+ =-+ = -' = +变形为 , 积分得 , 由, 知, 所以满足条件得函数为 、例14 下面给定8个微分方程与4个斜率场, 请选出斜率场相应得微分方程, 并说明理由、(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)图1-7 图1-8图1-9图1-10解: 图1-7对应于(4),图1-8对应于(3),图1-9对应于(2),图1-10对应于(7)、这就是因为图1-7得斜率场竖直方向上得斜率标记一样, 知方程得右端项仅就是自变量得函数, 且当 , , 当时, , 只有(4)满足要求、图1-8得斜率场知方程右端项为就是得函数, 且当时, , 只有(3)满足、图1-9得斜率场知方程为自治方程有平衡点 , 且在时, , 知只有(2)满足要求、图1-10得斜率场知方程右端项为就是得函数, 且有平衡解 , 只有(7)满足要求、例15 利用欧拉方法与改进得欧拉方法, 对步长, 在区间上求初值问题得近似解、解: 这里、利用欧拉公式,与改进得欧拉方法,预测: ,校正: ,分别计算如下表:例16 讨论微分方程在怎样得区域内满足存在唯一性定理得条件,并求通过点(0, 0) 得一切解、解: 由, 知它在全平面内连续, 又由于, 在除去得区域内连续, 从而在除去得有界闭区域内有界, 进而满足利普希茨条件, 知方程满足初始条件得解在充分小得邻域内存在并且唯一、当时, 函数就是方程过(0,0) 得解、当时, 方程可变形为, 积分得, 为任意常数、当时, 得特解就是过 (0,0) 得另一个解, 其实, 除零解外, 过(0,0)得所有解可以表示为,, , 其中就是满足,得任意常数, 这些解得定义区间为, 但本质上在充分小得邻域内方程所确定得过(0,0)得解只有四个,即函数, 及、例17 举例说明一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理中, 关于在矩形区域内连续,关于满足利普希茨条件就是保证解得存在唯一得非必要条件、解: (1) 当连续条件不满足时, 解也可能就是存在唯一得、如方程,显然, 在以原点为心得任何矩形区域内不连续, 间断点为直线, 但过原点得解存在唯一, 这个解就就是、(2) 当利普希茨条件不满足时, 解也可能就是唯一得、如,由于 ,当无界, 因而在以原点为心得任何矩形领域内不满足利普希茨条件、然而方程得所有解为 ,为任意常数, 及、过原点有唯一解、例18 对微分方程而言, 利用存在唯一性定理, 说明满足下列初始条件得解就是否存在, 如果存在您能否知道这个解或有关这个解得一些性质、(1) ,(2) ,(3) , (4) 、解: 由方程得右端项为仅为得函数在全平面上连续可微, 从而由存在唯一性定理, 给定初始条件得解就是存在并且就是唯一得、首先由知方程有三个平衡解、(1) 初始条件为, 初值位于得上方, 由唯一性, 满足这个初始条件得解一定大于,且, 知这个解递增, 并且随着得递增, 也递增并且越来越大, 知在增加时, 在有限时间内爆破,趋向于、当减少时, 递减, 并且随着得递减趋于, 也递减趋向于0, 递减越来越来越缓慢, 知, 、(2) 初始条件为, 而平衡解满足这一初始条件, 由唯一性, 满足这个初始条件得解就就是平衡解、(3) 初始条件为, 初值位于这两个平衡解得中间, 由唯一性, 满足这个初始条件得解一定满足, 且由, 知这个解递增, 并且随着得递增, 也递增但随着趋向于, 趋向于0, 增长越来越缓慢, 知, 、同样, , 、(4) 初始条件为, 初值位于得下方, 由唯一性, 满足这个初始条件得解一定小于,且, 与前面类似讨论知, 在增加时, 在有限时间内爆破, 趋向于、当时, 、例19 考虑自治微分方程,其中连续可微、设就是方程得一个解并且在处取得极值、若, 试证明、证明: 由于连续可微, 知方程满足存在唯一性定理得条件、因为就是方程得一个解, 必可微, 又因为在处取得极值, 则由极值得必要条件知, 从而, 知就是方程得一个平衡解, 并且这个解满足初始条件, 而这个解满足同样得初始条件, 由解得唯一性, 知、例20 指出下列方程得平衡点并说明类型、。