第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时）
一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理.
二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理.
三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质.
四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：
1 课题引入
在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质.
例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v
123(,,,)(,,,)(,,,)x y z
v f t x y z v f t x y z v f t x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。

因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz
v dt =, 所以这个问题其实就是求
一阶微分方程组
123(,,,)
(,,,)(,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
的满足初始条件
00(),x t x = 00(),y t y = 00()z t z =
的解(),(),()x t y t z t .
另外，在n 阶微分方程
（1.12）
()
(1)
(,,,
,)n n y
f x y y y
-'=
中,令
(1)
121,,
,n n y y y y y
y --'''===就可
以把它化成等价的一阶微分方程组
112
21111(,,,,)
n n n n dy y dx dy y
dx dy y dx dy
f x y y y dx
----⎧=⎪⎪
⎪=⎪⎪⎨⎪
⎪=⎪⎪⎪=
⎩
注意，这是一个含n 个未知函数11,,,n y y y - 的一阶微分
方程组.
含有n 个未知函数12,,,n y y y 的一阶微分方程组的一般形
式为：
1
1122112112(,,,,)(,,,,)(,,,,)
n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx
⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪
⎪=⎪
⎩ (3.1)
如果方程组(3.1)右端函数不显含x , 则相应的方程称为是自治的. 方程组(3.1)在[,]a b 上的一个解，是这样的一组函数
12(),(),
,()n y x y x y x
使得在[,]a b 上有恒等式
12()
(,(),(),,())
i i n dy x f x y x y x y x dx
=
(1,2,
,)i n =
含有n 个任意常数12,,,n C C C 的解
1112221212(,,,,)(,,,,)(,,,,)
n n n n n y x C C C y x C C C y x C C C ϕϕϕ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩
称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组
11212212121212(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0
n n n n n n n x y y y C C C x y y y C C C x y y y C C C Φ=⎧⎪Φ=⎪⎨⎪⎪Φ=⎩
则称后者为(3.1)的通积分.
如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件
1010202000(),(),
,()n n y x y y x y y x y ===
(3.2)
的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于12,,
,n C C C 的n 个方程式，如果从其中解得12,,
,n C C C ，
再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解.
2 一阶微分方程组的向量和矩阵表示
为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1). 令n 维向量函数
12()()(),
()n y x y x Y x y x ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
11221212(,,,
,)(,,,,)(,)(,,,,)n n n n f x y y y f x y y y F x Y f x y y y ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
并定义
111()
,dy dx dy dY x dx dx dy dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
00
001()()()()x x x x n x x x n x f x dx f x dx F x dx f x dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰⎰
则(3.1)可记成向量形式
(,)dY
F x Y dx
= (3.3)
初始条件(3.2)可记为
00(),Y x Y = 其中
102000n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(3.2)′
(3.3)的满足(3.2)′的初值问题可记为
00(,)
()dY
F x Y dx Y x Y
⎧=⎪⎨⎪=⎩
(3.4)
这样，从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了.
进一步，对n 维向量Y 和矩阵()ij A a =,
12,n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1112
1212221
2
n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
定义
1
,n
i i Y y ==∑
,1
n
ij i j A a ==
∑
易于证明以下性质：
1.0Y ≥,
且0Y =, 当且仅当0Y =
(0 表示零向量，下同);
2.1212Y Y Y Y +≤+;
3.对任意常数α，有Y Y
αα=;
4.
0A ≥;
5.
A B A B
+≤+;
6.对任意常数γ，有A A
γγ
=;
7.AY A Y
≤
; 8. AB A B
≤.
称
Y 和A 分别为向量Y 和矩阵A 的范数. 进而还有如
下性质
()()x
x
x x F x dx F x dx ≤
⎰
⎰
有了n 维空间的范数定义后，我们可以定义按范数收敛的概念. 即：如果对[,]a b 上的任意x ，有
lim ()()0n n Y x Y x →∞
-=
则称()n Y x 在[,]a b 上按范数收敛于Y (x ).如果上式对[,]a b 上的x 为一致的，则称()n Y x 在上[,]a b 按范数一致收敛于
()Y x .
另外, 如果对n 维向量函数F (x )有
0lim ()()0x x F x F x →-=
则称()F x 在0x 连续. 如果()F x 在区间[,]a b 上每一点0x 都连续, 则称()F x 在区间[,]a b 上连续. 有了以上准备，完全类似于第二章定理 2.2，我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理. 定理3.1 如果函数(,)F x Y 在1n + 维空间的区域
00:,R x x a Y Y b -≤-≤
上满足： 1) 连续；
2) 关于Y 满足李普希兹条件，即存在0N >, 使对于R 上任意两点1(,),x Y 2(,)x Y ,有
1212
(,)(,)F x Y F x Y N Y Y -≤-
则存在00h >, 使初值问题(3.4)的解在00x x h -≤ 上存在且唯一，其中0min(,),b h a M
= (,)max (,)x Y R
M F x Y ∈=.
定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程
0()(,())x
x Y x Y F x Y x dx =+⎰
(3.5)
同解.为证(3.5)的解在00x x h -≤ 上的存在性，同样用逐次逼近法，其步骤可以逐字逐句重复定理2.2的证明.最后，唯一性的证明，同样用贝尔曼不等式完成.
对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初值的连续依赖性定理，这只要在第二章相应定理中把纯量y 换成向量Y 即可.
最后，我们要指出方程组(3.3)解的几何意义：我们已经知道，纯量方程(1.9)的一个解是二维空间xoy 平面上的一条曲线，或称为积分曲线，那么，很自然地有方程组(3.3)的一个
解就是1
x Y中的一条曲线了，也称它为方程组(3.3) n 维空间(,)
的积分曲线.
本节要点：
1．一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义.
2．一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征：系数和非齐次项连续区间上整体存在.
作业: 完成定理3.1的证明.。