将一个定义在 上的函数[0, ]
f (x) 进行拓展
f (x), x (0, ]
F (x) 0, x 0
f (x), x ( ,0)
这样构造的函数
F (x) 在 ( , ) 上是一个奇
函数，按这种方式拓展函数定义域的过程
称为奇延拓。
同理，构造函数 为
F ( x)
F
(x)
f f
( x), ( x),
1
f (x)cos nxdx,
n 1,2,L in nxdx,
n 1,2,L .
将傅里叶系数值代入 展开式的右端f (x)
f
(x)
a0 2
k 1
(ak
cos
kx
bk
sin
kx)
得到的三角级数
a0
2
n1
(an
cos
nx
bn
sin
nx)
称为函数
f (x) 的傅里叶级数．
2 π
x sin n
nx
cos nx n2
π 0
4
2 n2 π
( cos n
π1)
(2k 0
1)2
n 2k 1
( k 1, 2 , )
n 2k
bn
1 π
π F(x)sin nxd x 1
π
π
π
f (x)sin nxd x 0
π
所以，函数
f (x) 的傅里叶级数展开式为
f
(x)
π 2
n
2 n
20
4 cos n 4 (1)n1 (n 1, 2 , )
n
n
从而可得正弦级数
f (x) 4 (1)n1 sin n x , (0 x 2)
n1 n
2
（2）将
f (x)先作偶延拓，再作周期延拓，
计算傅里叶系数得
a0
2 2
2
x dx 2
0
an
2 2
2 x cos n x d x
满足
收敛定理，先计算傅里叶系数
bn 0 (n 1 , 2 , L )
a0
2 π
π u(t)d t 2
0
π
π E sin t dt 4E
0
π
a1
E π
π
sin 2t dt 0
0
an
2 π
π u(t)cos ntd t 2
0
π
π
E sin t cos nt dt
0
E
π
[sin(n 1)t sin(n 1)t]dt
例6 将函数
f (x) x (0 x 2) 展开成
（1）正弦级数； （2）余弦级数．
解 （1）将
f (x) 先作奇延拓，再作周期
延拓，计算傅里叶系数得
an 0 (n 0, 1, 2, )
bn
2 2
2 x sin n x d x
0
2
2 x cos n x 2 2 sin n x 2
kn
12 dx 2 ,
cos2 nxdx
n 1,2,L ,
sin 2 nxdx n 1,2,L .
10.5.2 以 2 为周期的函数的傅里叶级数
通常，由下述公式确定的
a0 , an ,bn (n 1,2, )
称为函数
f (x) 的傅里叶系数．
a0
1
f (x)dx,
an
x [0, ] x ( ,0)
按这种方式拓展函数定义域的过程称为偶延拓．
例4 将函数
f (x) x 1 ( 0 x ) 分别展开成
正弦级数和余弦级数．
解 先展开成正弦级数．
对函数
再作周期延拓，满足收敛定理的条件．
f (x) 作奇延拓，
按公式计算傅里叶系数
bn
2
f (x)sin nxd x 2
定理1（收敛定理，狄利克雷充分条件）设
f (x) 是周期为 2 的周期函数
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断
如果它满足
点 在一个周期内至多只有有限个极值点
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 并且：
(1) 当
x 是 f (x) 的连续点时 级数收敛于
f (x);
(2) 当
x 是 f (x) 的间断点时 级数收敛于
(n 0,1,2,L )
0
bn
1
f (x)sin nxdx
1
0 (1)sin nxdx 1
1sin nxdx
0
1
[cosnnx]0
1
[
cosnnx]0
1 [1 cos n cos n 1] n
2 (1 (1)n )
n
n4 n 1, 3, 5,
0 n 2, 4, 6,
( n 1, 2 ,L )
周期为 2 的偶函数
f (x), 其傅里叶级数为
余弦级数，即傅里叶系数为
an
2
f (x)cos nxdx,
0
( n 1, 2 ,L )
bn 0 ( n 1, 2 ,L ).
例3 将周期函数
u(t) E sin t 展开成傅里叶
级数，其中
E 为正常数．
解 不妨将
u(t)看成是 2 为周期的函数，
2
3
4
(0 x )
其中在端点
x 0, 处，级数的和为0．
再把函数展开成余弦级数．
对函数
延拓，再作周期延拓，满足收敛定理的条件．
f (x) 作奇
按公式计算傅里叶系数
a0
2
(x
1) d
x
2
(x2
x)
0
2
0
2
an
2
(x 1)cos nxd x
0
2
[
x
sin n
nx
cos nx n2
sin nx] n
0
2
n2
(cos
n
1)
(2k
4 1)2
0
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2, )
从而可得余弦级数
x
1
2
1
4
[cos
x
1 32
cos 3x
1 52
cos 5x
L
]
(0 x )
10.5.5 以 为周期的2函l 数的傅里叶级数
定理3 设周期为
2l 的周期函数
f (x) 满足收敛
定理条件，则它的傅里叶级数当 续点时，有
4 π
(cos
x
1 32
cos 3x
1 52
cos 5x
L
)
( π x π ).
10.5.4 正弦级数和余弦级数
一、正弦级数和余弦级数
定理2 对于周期为
2 的奇函数
级数为正弦级数，即傅里叶系数为
f (x),其傅里叶
an 0 (n 0 , 1 , 2 ,L ),
bn
2
0
f (x)sin nxdx,
从而由收敛定理知道
f (x) 的傅里叶级数收敛，并且当
时收敛于
x k
1[ f (x 0) f (x 0)] 1 (11) 0
2
2
当 x k 时级数收敛于
f (x).
傅里叶系数计算如下
an
1
f (x) cos nxdx
1
0 (1) cos nxdx 1
1 cos nxdx 0
n )
2k
n
0
于是
n 1, 3, 5, n 2, 4, 6,
f (x) k 2k (sin x 1sin 3x 1sin 5x ) 2 23 2 5 2
( x , x 0, 2, 4,L )
且在点 收敛于
x 0, 2, 4,L 处 f (x) 的傅里叶级数
k. 2
第十章 无穷级数
10.5 傅里叶级数*
10.5.1 三角级数与三角函数系的正交性 10.5.2 以 2 为周期的函数的傅里叶级数 10.5.3 区间 上函[数的,傅里] 叶级数
10.5.4 正弦级数和余弦级数
10.5.5 以 为周期的2函l 数的傅里叶级数
10.5.6 小结
10.5.1 三角级数与三角函数系的正交性
函数项级数
a0
2
n1
(an
cos nx bn
sin
nx)
称为三角级数，
其中 a0 , an ,bn (n 1,2, )是常数．
称函数族
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x, ,cos nx,sin nx,
为三角函数系．
三角函数系的正交性是指：
三角函数系中
任何两个不同的函数的乘积在区间
0
2
2 x sin n x 2 2 cos n x 2
n
2 n
20
n
4
2
2
[(1)n
1]
0 ,
n 2k
(2k
8 1)
2
2
,
n 2k 1
( k 1, 2, )
从而可得余弦级数
f
(x)
1
8
2
k 1
1 (2k 1)2
cos
(2k
1)x
2
(0 x 2)
10.5.6 小结
1. 三角级数与三角函数系的正交性 2. 2 以 为周期的函数的傅里叶级数 3. 区间 上[函数,的傅]里叶级数
x 是 f (x) 的连
f
(x)
a0 2
n1
(an
cos
n