级数,
即
f ( x) a0 2
(ak cos kx bk sin kx),
k 1
问题1: 系数 ak , bk为多少？
(1) 求a0 .
f
( x)dx
a0 2
dx
[
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)]dx
a0 dx 2
ak cos kxdx k 1
bk sin kxdx k 1
a0 2, 2
a0
1
f ( x)dx
(2) 求an .
f
( x)cos nxdx
a0 2
cos nxdx
[ak
cos
kx
cos
nxdx
bk
sin
kx
cos
nxdx
]
k 1
an cos2 nxdx
an,
an
1
f ( x)cos nxdx
(n 1,2,3,)
(3) 求bn .
f ( x)sin nxdx a0
现实世界中的周期现象 是多种多样的和复杂的 . 例如，在电子技术中常用
到的周期为 2 的矩形波，就是这样一个周期现象 .
早在18世纪中叶，丹尼尔.伯努利在解决弦振动 问题时就提出了这样的见解 : 任何复杂的振动 都可以分解成一系列谐振动之和 .
非正弦周期函数:矩形波
u( t )
1,
1,
当 t 0 当0 t
在区间[ , ]上正交,
三角函数系的正交性 所谓三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,,cos nx,sin nx, (2)
在区间[ , ]上正交, 是指(2)中任何两个不同函数
的乘积在该区间上的积分等于零, 即
(1)
cos nxdx 0,
(n 1,2,3,)
(2)
t x,
即
f
(t)
a0 2
n1
(an
cos
nx
bn
sin
三角函数
nx)
十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言 : “任意”函数都可以展成三角级数.虽然他没有 给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此 开创了“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓 广了传统的函数概念 . 傅里叶的工作被认为是 十九世纪科学迈出的极为重要的第一个大步， 它对数学的发展产生的影响是他本人及同时代 的其他人都难以预料的 . 而且，这种影响至今 还在发展之中 . 这里所介绍的知识主要是由
任何周期为T( 2 ) 的函数 f (t ), 都可用一系列
以 T 为周期的正弦函数所组成的级数来表示，
f (t) A0 An sin(nt n ) 谐波分析
n1
A0 ( An sin n cos nt An cos n sin nt)
n1
令
a0 2
A0 ,
an An sin n , bn An cos n ,
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
1 1dx 2
cos2 n x dx
sin2 nx dx
cos2 nx 1 cos 2nx , sin2 nx 1 cos 2nx
2
2
二、函数展开成傅里叶级数
1.傅里叶系数
设 f ( x) 是周期为 2 的周期函数, 且能展开成三角
sin nxdx
2
[ak
cos
kx
sin
nxdx
bk
sin
kx
sin
nxdx]
k 1
bn
sin2 nxdx
bn,
bn
1
f ( x) sin nxdx
(n 1,2,3,)
函数 f(x) 的傅里叶系数
an
1
f ( x)cosnxdx,
(n 0,1,2,)
bn
1
f ( x)sin nxdx,
这里所介绍的知识主要是由傅里叶以及与他 同时代的德国数学家狄利克雷等人的研究成 果.
一、三角级数与三角函数系
a0
2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
(1)
称上述形式的函数项级数为三角级数.
组成三角级数的三角函数系
1,cos x,sin x,cos2x,sin2x, ,cosnx,sin nx,
u
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
4 sin t, 4 1 sin 3t, 4 1 sin 5t, 4 1 sin 7t,
3
5
7
u 4 sin t
u 4 (sin t 1 sin 3t)
3
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
3
5
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)
sin nxdx 0,
(n 1,2,3,)
(3) sin mx sin nxdx 0, m n,
(m,n 1,2,3,)
(4)
cos mx cos nxdx 0,
m n,
(m,n 1,2,3,)
(5)
sin mx cos nxdx 0,
(m,n 1,2,3,)
以上等式2 为周期的函数
展开成傅里叶级数.
u(t)
1,
1,
t 0 0t
u
解
a
n
1
u(t)cos ntdt
o
1
t
1
0
(1)cos
ntdt
1
1 cos ntdt
0
0 (n 0, 1, 2, ),
bn
1
u(t)sin ntdt
3
5
7
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t)
3
5
7
9
u(t) 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t )
3
5
( 7 t , t 0 )
这一事实用数学语言来描述即为 : 在一定的条件下，
(n 1,2,)
函数 f(x) 的傅里叶级数
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin
nx)
问题2:
f
(x)
条件?
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x)是以2为周期的周期函数.如果它满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且 至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级数收敛, 并且
(1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
(2)当x 是 f ( x)的间断点时,收敛于 f ( x 0) f ( x 0) ; 2
(3) 当x 为端点x 时,收敛于 f ( 0) f ( 0) .
2
注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多.