Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝ ，
∴AB＝2OB＝2 ，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴ ，
整理得：x2﹣x﹣6＝0，
∴（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣2，
∴AC＝3 ；
②点C与点M重合时，如图2，同理得：∠AMB＝90°， ，
设BD＝x，则AC＝ x，
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）＝90°；
（3）拓展延伸
①点C与点M重合时，如图1，同（2）得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB＝90°， ，
设BD＝x，则AC＝ x，
Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，
∴CD＝2，BC＝x﹣2，
（2）将线段BC向右平移至AD（点B对应点A，点C对应点D）．
①当点M为x轴上任意点（不与原点重合），ME、CF分别平分∠CMO与∠DCM，若∠AME＝α，∠DCF＝β，试用含α的代数式表示β；
②点P为线段CD上一点（不与点C、D重合），P的横坐标为t，连接BP、AC，BP交y轴于点E，交AC于点Q，若△CQE与△PQA的面积分别为S1，S2，试用含t的代数式表示S2﹣S1．
∴∠FCM＝∠EMC＝β，
∴∠AMC＝180°﹣2β，
∵∠AME＝∠AMC+∠EMC，
填空：① 的值为；
②∠AMB的度数为．
（2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，CD＝2OD，AB＝2OB，连接AC交BD的延长线于点M．请求出 的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC、BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝ ，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
（1）证明：如图①中，连接OP．
∵PA⊥OM，PB⊥ON，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），
∴PA＝PB．
（2）如图②中，
∵∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴∠AOB+∠APB＝180°，
∵∠CPD+∠AOB＝180°，
∴∠CPD＝∠APB，
∴∠APC＝∠BPD，
解：（1）问题发现
①如图1，∵∠AOB＝∠COD＝50°，
∴∠COA＝∠DOB，
∵OC＝OD，OA＝OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC＝BD，
∴ ＝1，
②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠AOB＝50°，
∴∠OAB+∠ABO＝130°，
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣130°＝50°，
故答案为：①1；②50°；
（2）类比探究
如图2， ＝ ，∠AMB＝90°，理由是：
Rt△COD中，∠DOC＝90°，CD＝2DO，
∴∠DCO＝30°，
∴ ＝tan30°＝ ，
同理得： ＝tan30°＝ ，
∴ ，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠CAO＝∠DBO，
t＝25．
④当30≤t＜39时，如图3﹣3中，∠APG＝（10t﹣300）°，∠BPH＝2t，
当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，
此时10t﹣300＝2t，
t＝37.5，
综上所述，满足条件的t的值为15s或25s或37.5s．
2、（1）问题发现：
如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°，连接AC，BD交于点M．
∵PA＝PB，∠PAC＝∠PBD＝90°，
∴△PAC≌△PBD（ASA），
∴AC＝BD，
∴OC+OD＝OA+AC+OB﹣BD＝2OA＝13，
∴OA＝6.5．
（3）设点P的旋转时间为t秒．
①当0＜t＜12时，不存在．
②当12≤t＜21时，如图3﹣1中，∠APG＝（10t﹣120）°，∠BPH＝2t°，
当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，
此时10t﹣120＝2t，
t＝15．
③当21≤t＜30时，如图3﹣2中，∠APG＝180°﹣∠APA′＝180°﹣（10t﹣120）°＝（300﹣10t）°，∠BPH＝2t，
当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，
此时300﹣10t＝2t，
解：（1）如图1中，
∵ ＝0，
又∵ ≥0，|b+2|≥0，（c﹣4）2≥0，
∴a＝5，b＝﹣2，c＝4，
∴A（5，0），B（﹣2，0），C（0，4），
∴OA＝5，OB＝2，OC＝4，
∴AB＝OB+OA＝2+5＝7，
∴S△ABC＝ •AB•OC＝ ×7×4＝14．
（2）①如图2﹣1中，当点E在射线OB上时，α+β＝90°
专题47 三角形中的旋转综合问题
1、如图，点P是∠MON内的一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，且OA＝OB．
（1）求证：PA＝PB；
（2）如图②，点C是射线AM上一点，点D是线段OB上一点，且∠CPD+∠MON＝180°，若OC＝8，OD＝5．求线段OA的长．
（3）如图③，若∠MON＝60°，将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，12秒后，PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转，PA旋转270°后停止，此时PB也随之停止旋转．旋转过程中，PA所在直线与OM所在直线的交点记为G，PB所在直线与ON所在直线的交点记为H．问PB旋转几秒时，PG＝PH？
理由：∵CD∥AM，
∴∠DCM+∠AMC＝180°，
∵∠DCF＝ ∠DCM＝β，∠AME＝ ∠AMC＝α，
∴α+β＝90°．
当点M在线段AB上时，如图2﹣2中，α+β＝180°．
理由：∵CD∥AM，
∴∠DCM+∠AMC＝180°，∠DCM＝∠CMB，
∵∠DCM＝2∠DCF＝2β，∠FCM＝ ∠DCM，∠EMC＝ ∠CMB，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴ +（x+2）2＝ ，
整理得x2+x﹣6＝0，
∴（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∴AC＝2 ；
综上所述，AC的长为3 或2 ．
3、已知在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0）、C（0，c），其中a、b、c满足 ＝0．
（1）求△ABC的面积；