第10课 判别式与韦达定理
〖知识点〗
一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 〖大纲要求〗
1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。
对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；
2.掌握韦达定理及其简单的应用；
3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；
4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。
内容分析
1.一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，
当△＜0时，方程没有实数根．
2.一元二次方程的根与系数的关系
(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，a
c x x =21
(2)如果方程x 2
+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q
(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．
3.二次三项式的因式分解(公式法)
在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根
是x 1,x 2，那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．
〖考查重点与常见题型〗
1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：
关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ）
（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）没有实数根 （D ）不能确定
2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：
设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）
（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3
3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。
在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。
考查题型
1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）
（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）没有实数根 （D ）不能确定
2．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）
（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3
3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0
4．以方程x 2
＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）
（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0
5．如果x 1，x 2是两个不相等实数，且满足x 12－2x 1＝1，x 22－2x 2＝1，
那么x 1·x 2等于（ ）
（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1
6．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根，那么k ＝
7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围
是
8．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝
9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝
二、考点训练：
1、 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=0
2、 当m= 时，方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根；
当m= 时，方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；
3、 已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另
一个根是 ；若两根之和为－35
，则m= ，这时方程的两个根为 . 4、 已知3－ 2 是方程x 2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m 的值。
5、 求证：方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。
6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1+ 5 。
7、 设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1x 2
（3）x 12+ x 1x 2+2 x 1 解题指导
1、 如果x 2－2(m+1)x+m 2+5是一个完全平方式，则m= ;
2、 方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根，则最小的整数m= ;
3、 已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等，则m= ;
4、 设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n ，且3m+2n=20，则k 值为 ;
5、 设方程4x 2－7x+3=0的两根为x 1,x 2，不解方程，求下列各式的值:
(1) x 12+x 22 (2)x 1－x 2 （3）ｘ1 ＋ｘ2 ＊（4）x 1x 22＋12
x 1 ＊6.实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式
ｓｔ＋4ｓ＋1ｔ
的值。
7.已知a 是实数，且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x 2+2ax+1－12
(a 2x 2－a 2－1)=0有无实根？
8.求证：不论k 为何实数，关于x 的式子(x －1)(x －2)－k 2都可以分解成两个一次因式的积。
9．实数K 在什么范围取值时，方程ｋｘ2＋2（ｋ－1）ｘ－（K －1）＝0有实数正根？
独立训练（一）
1、 不解方程，请判别下列方程根的情况；
(1)2t 2+3t －4=0, ; (2)16x 2+9=24x, ;
(3)5(u 2+1)－7u=0, ;
2、 若方程x 2－(2m －1)x+m 2+1=0有实数根，则m 的取值范围是 ;
3、 一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2－ 3 ，则p= ,q= ;
4、 已知方程3x 2－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是 ，m= ;
5、 若方程x 2+mx －1=0的两个实数根互为相反数，那么m 的值是 ;
6、 m,n 是关于x 的方程x 2-(2m-1)x+m 2+1=0的两个实数根，则代数式m n = 。
7、 已知关于x 的方程x 2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k 的值;
8、 如果α和β是方程2x 2+3x －1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，
使它的两个根分别等于α+1 β 和β+1 α
; 9、 已知a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，
求证：这个三角形是正三角形
10.取什么实数时，二次三项式2x 2－(4k+1)x+2k 2－1可因式分解.
11.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝1 α
＋1 β
，求ｓ的取值范围。
独立训练（二）
1、 已知方程x 2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β= , αβ= ;
2、 如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m 的值为 ;
3、 已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212
，则k= ; 4、 若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;
5、 方程4x 2－2(a-b)x －ab=0的根的判别式的值是 ;
6、 若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值
为 ;
7、 已知p<0,q<0，则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;
8、 以方程x 2－3x －1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;
9、 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 2
10．m 取什么值时，方程2x 2－(4m+1)x+2m 2－1=0
（1） 有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；
11．设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求p,q 的值。
12．是否存在实数ｋ，使关于ｘ的方程9x 2－(4ｋ－7)x －6ｋ2=0的两个实根x 1,x 2，满足｜x 1 x 2
｜＝32 ，如果存在，试求出所有满足条件的ｋ的值，如果不存在，请说明理由。