分数裂差考试要求（1） 灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和（2） 能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和知识结构一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222hhn n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k k n n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

重难点（1） 分子不是1的分数的裂差变型；（2） 分母为多个自然数相乘的裂差变型。

例题精讲一、 用裂项法求1(1)n n +型分数求和 分析：1(1)n n +型（n 为自然数） 因为111n n -+＝11(1)(1)(1)n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数），所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ 【例 1】 填空：（1）1-21= （2）=⨯211 （3） =-3121 （4）=⨯321 （5）=⨯60591 （6）=-601591 （7）=⨯100991 （8）=-1001991 【考点】分数裂项 【难度】☆ 【题型】填空 【解析】（1）原式=112⨯；（2）原式=1112-；（3）原式=123⨯；（4）原式=1123-；（5）原式=115960-； （6）原式=15960⨯；（7）原式=1199100-；（8）原式=199100⨯。

【答案】（1）112⨯；（2）1112-；（3）123⨯；（4）1123-；（5）115960-；（6）15960⨯；（7）1199100-；（8）199100⨯。

【巩固】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯。

【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】填空【解析】原式111111115 122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】56。

【例 2】计算：111...... 101111125960 +++⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】解答【解析】原式111111111 ()()......()101111125960106012 =-+-++-=-=【答案】112。

【巩固】计算：11111 198519861986198719951996199619971997 +++++⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】解答【解析】原式1111111111 1985198619861987199519961996199719971985 =-+-++-+-+=【答案】1 1985。

【例 3】计算：1122426153577++++=____。

【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】填空【答案】11。

【巩固】11111111612203042567290+++++++=_______。

【考点】分数裂项 【难度】☆☆ 【题型】填空【解析】原式=11111111612203042567290+++++++ 1111111123344556677889910=+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11=210- 2=5【答案】25【例 4】 计算：1111111112612203042567290--------＝ 。

【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】原式111111111()223344556677889910=-+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111()22334910=--+-++- 111()2210=-- 110=【答案】110。

【巩固】计算：11111123420261220420+++++ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】原式()1111112320261220420⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭ 11111210122334452021=++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112101223342021=+-+-+-++- 1210121=+-2021021=【答案】20 21021。

【例 5】计算：11111 200820092010201120121854108180270++++= 。

【考点】分数裂项【难度】☆☆☆【题型】填空【解析】原式11111 20082009201020112012366991212151518 =+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯1111111201059122356⎛⎫=⨯+⨯-+-++-⎪⎝⎭51005054=【答案】5 1005054。

【巩固】计算：1511192997019899 2612203097029900+++++++=．【考点】分数裂项【难度】☆☆☆【题型】填空【解析】原式1111 111126129900⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11199122399100⎛⎫=-+++⎪⨯⨯⨯⎝⎭1111199122399100⎛⎫=--+-++-⎪⎝⎭1991100⎛⎫=--⎪⎝⎭198100=【答案】198100。

二、用裂项法求1()n n k+型分数求和分析：1()n n k+型。

（n,k均为自然数）因为11111()[]()()()n k nk n n k k n n k n n k n n k+-=-=++++，所以1111()()n n k k n n k=-++【例 6】1111 133******** ++++=⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】填空【解析】111111111150(1 13355799101233599101101 ++++=⨯-+-++-=⨯⨯⨯⨯…）【答案】50 101。

【巩固】计算：1111111 315356399143195 ++++++【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】解答【解析】原式11111111335577991111131315 =++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11111111121323521315⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112115⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭715=【答案】715。

【例 7】计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++=⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】填空【解析】原式11111125123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++-⎪⎝⎭11251225⎛⎫=⨯⨯-⎪⎝⎭2524225=⨯12=【答案】12。

【巩固】计算：11111111()128 8244880120168224288+++++++⨯=【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】填空【解析】原式1111128 2446681618=++++⨯⨯⨯⨯⨯（）1111111128 224461618=⨯-+-++-⨯（）1164218=-⨯（）4289=【答案】4 289。

三、用裂项法求()k n n k +型分数求和 分析：()k n n k +型（n,k 均为自然数） 因为11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k +，所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例 8】 求2222 (1335579799)++++⨯⨯⨯⨯的和 【考点】分数裂项 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】原式1111111(1)()()......()335579799=-+-+-++- 1199=- 9899=【答案】9899。

【巩固】2222109985443++++=⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆ 【题型】填空【解析】原式111111112910894534⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪⎝⎭112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715= 【答案】715。

【例 9】 计算：33314477679+++⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆ 【题型】解答 【解析】原式=11111114477679-+-++- =1179-=7879【答案】78 79。

【巩固】3333 25588113235 ++++⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】解答【解析】原式=11111111 25588113235 -+-+-++-=11 235 -=33 70【答案】33 70。

【例 10】4444 21771652021 ++++【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】解答【解析】原式=4444 3771111154347 ++++⨯⨯⨯⨯=11111111 3771111154347 -+-+-++-=11 347 -=44 141【答案】44 141。

【巩固】2222()46 31535575++++⨯【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】解答【解析】原式=222246 1335572325⎛⎫++++⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭=1111111146 1335572325⎛⎫-+-+-++-⨯ ⎪⎝⎭=114625⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=44425 【答案】44425。