第二章 矩 阵I 重要知识点一、矩阵1、定义 由n m ⨯个数ij a ),2,1;,,2,1(n j m i ==排成m 行n 列的数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为n m ⨯矩阵，简记为n m ij a A ⨯=)(，当n m =时，A 也称为n 阶方阵。
2、几类特殊矩阵（1） 单位矩阵：主对角线上都是1，其余全为0的方阵，记为E 。
（2） 对角矩阵：除主对角线外其余全为0的方阵.kE 叫数量矩阵。
（3） 三角矩阵：主对角线上（下）方全为0的方阵称为下（上）三角矩阵。
上、下三角矩阵统称为三角矩阵。
（4） 矩阵的转置：将矩阵n m ij a A ⨯=)(的行与列的元素位置交换而形成的矩阵叫作A 的转置，记为m n ji T a A ⨯=)(或m n ji a A ⨯=)(/。
（5） 对称矩阵与反对称矩阵：设n n ij a A ⨯=)(，若A A T =，则称A 为对称矩阵，若A A T -=，则称A 为反对称矩阵。
（6） 正交矩阵：设n n ij a A ⨯=)(，若E AA A A T T ==，则称A 正交矩阵。
（7） 可交换矩阵：设A 、B 是同阶方阵，且BA AB =。
（8） 分块矩阵：用水平和竖直虚线将矩阵A 中的元素分割成若干小块，而形成的以这些小块为元素的矩阵。
3、矩阵的运算（1） 矩阵的相等：设n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(，若ij ij b a =（m i ,,2,1 =，),,2,1n j =，则称A 与B 相等，记为B A =。
（2） 矩阵的和与差：设n m ij a A ⨯=)(，n m ij b B ⨯=)(，定义n m ij ij b a B A ⨯±=±)(（m i ,,2,1 =，),,2,1n j =。
（3） 数乘矩阵：设n m ij a A ⨯=)(，定义n m ij ka kA ⨯=)(。
矩阵的加法和数乘运算满足下列运算规律： ① 交换律 A B B A +=+。
② 结合律 )()(C B A C B A ++=++。
③ 分配律 kB kA B A k +=+)(，lA kA A l k +=+)(。
（4） 矩阵的乘法：设s m ij a A ⨯=)(，n s ij b B ⨯=)(，定义n m ij c B A ⨯=⨯)(，其中sj is j i j i ij b a b a b a c +++= 2211。
矩阵乘法运算满足下列运算规律： ① 结合律 )()(BC A C AB =。
② 分配律 BC AC C B A +=+)(，CB CA B A C +=+)(。
③ 数与乘积的结合律 B kA kB A AB k )()()(==。
（5）方阵的幂：设n n ij a A ⨯=)(，定义相乘）个A k A A A A k ( ⋅=。
方阵的幂满足下列运算规律：l k l k A A A +=，kl l k A A =)(。
（6） 分块矩阵的运算：同阶矩阵分块相同才可相加减，在进行分块矩阵乘法时，应当注意前一个列的分法必须与后一个行的分法相同。
二、逆矩阵1、逆矩阵的定义：设n n ij a A ⨯=)(，若存在n 阶方阵B ，使得E BA AB ==，则称A 为可逆矩阵，并称B 为A 的逆矩阵，记1-=A B 。
2、可逆矩阵的性质：（1）若A 可逆，则1-A 唯一。
（2）矩阵A 可逆的充要条件是0≠A 。
（3）若A 可逆,则1,-A A T 均可逆,且有T T A A )()(11--=,A A =--11)(。
（4）若A ，B 为同阶可逆矩阵，则A B 也为可逆矩阵，且有111)(---=A B AB 。
（5）若A 可逆,且0≠k ，则AA 11=-，111)(--=A k kA 。
3、伴随矩阵设n n ij a A ⨯=)(，ij A 为元素ij a 的代数余子式，定义n n ji A A ⨯=)(*即：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A A212221212111*为A 的伴随矩阵。
4、矩阵的初等变换与初等矩阵（1） 矩阵的初等变换：①交换矩阵的某两行（列）；②以一个非零的数k 乘矩阵的某一行（列）；③把矩阵的某一行（列）k 倍加到另一行（列）；（2）初等矩阵：对单位矩阵施行一次第)3,2,1(=i i 种初等变换后而得到的矩阵叫第i 种初等矩阵。
初等矩阵为可逆矩阵，且其逆矩阵仍为初等矩阵。
即：),(),(1j i P j i P =-，))(())((11--=c i P c i P ，))(,())(,(1k j i P k j i P -=-。
（3）初等矩阵与初等变换的关系：对矩阵A 左（右）乘第)3,2,1(=i i 种初等矩阵，就相当于对A 的行（列）进行了一次同种的初等变换。
（4）可逆矩阵与初等矩阵的关系：任何一矩阵A 总可以经过有限次的初等变换化为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O OO E r，这也称为A 的等价标准形。
矩阵A 可逆⇔A 可以表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。
5、矩阵的秩及有关矩阵秩的结论（1） 矩阵的秩：矩阵A 的非零子式最高阶数叫矩阵A 的秩，记为)(A r 。
由于初等变换不改变矩阵的秩，故)(A r 等于A 的等价标准形⎪⎪⎭⎫⎝⎛O OO E r中的r 。
（2） 有关矩阵秩的重要公式与结论 ① )()()(A A r A r A r T T ==。
② 若O A ≠，则)(A r 1≥，只有零矩阵的秩为零。
③ )()()(B r A r B A r +≤±。
④ )}(),(min{)(B r A r AB r ≤。
⑤ 若A 可逆，则)()()(B r BA r AB r ==。
⑥ 设n m ij a A ⨯=)(，s n ij b B ⨯=)(，若O AB =，则n B r A r ≤+)()(。
三、本章的的重要性质及公式 1、转置矩阵的性质（1）A A T T =)(； （2）T T kA kA =)(； （3）T T T B A B A +=+)(； （4）T T T A B AB =)(。
2、逆矩阵的性质（1）A A =--11)(； （2）0,1)(11≠=--λλλA A ；（3）T T A A )()(11--=； （4）111)(---=A B AB 。
3、伴随矩阵*A 的性质（1）T T A A )()(**=； （2）*11*)()(--=A A ； （3）E A A A AA ==**（最常用）；（4）1*-=n A A ；（5）)3()(2**≥=-n A AA n ； （6）***)(AB AB =。
4、分块矩阵的性质（B A ,均为可逆矩阵）（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111B O O A B O O A ； （2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B OO B A O 111； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111B O CB A A B O C A ； （4）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A ； II 题型归纳及思路提示题型1 有关矩阵运算的命题（要熟悉矩阵运算的规律）例1设B A ,为n 阶对称矩阵，则下面结论不正确的是 。
（1）B A +也是对称矩阵； （2）AB 也是对称矩阵； （3）n m B A +也是对称矩阵； （4）T T AB BA +也是对称矩阵。
例2设A 为n 阶方阵，k 是非零常数，则=*)(kA 。
（1）1-n Ak ；（2）1-n Ak ；（3）1)1(--n n n Ak ；（4）11--n n Ak ；例3 设C B A ,,均为n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则=++222C B A 。
（1） E 3； （2） E 2； （3） E ； （4） O ； 题型2 有关对称矩阵与反对称矩阵的证明题例4 证明：任何一个方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
题型3 求矩阵的高次幂三种类型：（1）维列向量为，其中n A T βααβ,=的类型； （2）已知矩阵B P ,，且B AP P =-1，求m A 。
（3）根据矩阵的特点进行归纳或分解后再进行计算。
例5设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=426213213A ，求n A 。
例6 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101A ，求n A 。
例7设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，而2≥n 为正整数，则=--12n n A A 。
题型4 求矩阵的行列式要考核的不单纯是行列式的计算，而是通过给出与行列式相关联的方阵、逆矩阵、伴随矩阵及向量在指定运算下所构成的行列式的计算，以达到考核这些概念的运算性质及行列式的性质等目的。
例8 设A 为三阶方阵，81=A ，求*18)31(A A --。
例9 设33)(⨯=ij a A ，ij A 为ij a 的代数余子式，且0,11≠=a a A ij ij ，求A 。
例10设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=n n A 100000001100210001000，求A 的所有元素代数余子式之和。
例11设B A ,为n 阶正交矩阵，且1/-=B A ，证明0=+B A 。
例12设B A ,为n 阶方阵，试证明：E AB BE EA -=。
题型5 求逆矩阵与解矩阵方程求逆矩阵的主要方法：（1）*11A AA =-；（2）利用初等变换求逆； （3） 对于零特别多的矩阵采用分块矩阵求逆； （4） 利用定义E AB =求逆，有：B A =-1。
解矩阵方程的主要方法：先化简为：B AX =或B XA =或B AXC =，再求出B A X 1-=或1-=BA X 或11--=BC A X （要求C A ,均可逆）。
例13设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000000000000000121 nn a a a a A ，其中n i a i ,,2,1,0 =≠，求1-A 。
例14已知矩阵A 满足关系式O E A A =-+322，求1)4(-+E A 。
例15设矩阵A 的伴随矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ，且E BA ABA 311+=--，其中E 为4阶单位矩阵，求矩阵B 。
例16设A 为n 阶方阵，且有自然数m ，使O A E m =+)(，证明A 可逆。
题型5 求矩阵的秩及与秩有关的命题例17设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k k kA 111111111111，且3)(=A r ，则=k 。