线性代数第二章矩 阵及其运算
一、引例
引例 1 矩阵与复数
引复数例可2以用坐二标维旋有转序变数换组来表示，如复数 a+bi
可表引示例为 3(a , 线b)，性因变此换，的从逆结变构上换看复数是矩阵的
特在殊平情面形直. 角在坐第标二系节x 我O y们中也，看将到两，个矩坐阵标与轴复同数相
时 仿绕 ，原设有点给加旋定法转一、个减角线法(性逆、变时乘换针法为三正种，运顺算时. 针我为们负知)道，，复
B)(2A)-1=2A-1
C) AAT=ATA
D) |2A|=2|A|
解答： B)项=A-1/2，C)项不满足交换律，D)项=2n|A| 故选A
五、举例
例例 11 00 求求 二二 阶阶 矩矩 阵阵 AA acac dbdb 的的 逆逆 矩矩 阵阵 . 解 矩 阵 A 的 行 列 式 | A | = ad – bc ,
阵Ｂ，使得
AB＝BA＝E
（３）
则称矩阵 A 可逆，且称 B 是 A 的逆矩阵，记作
B＝A－１．
如果不存在满足（３）的矩阵 B，则称矩阵
A 是不可逆的．
现在的问题是，矩阵 A 满足什么条件时可逆？ 可逆方阵的逆阵是否唯一，如何求逆阵？可逆 矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题．
三、矩阵可逆的充要条件
证毕 证
若 n 阶方阵 A 的行列式不为零，即 |A| 0，
则称 A 为非奇异方阵，否则称 A 为奇异方阵.
说明，方阵 A 可逆与方阵Ａ非奇异是
等价的概念. 定理２不仅给出了方阵可逆的充要条件，而
且给出了求方阵逆阵的一种方法，称这种方法为
伴随矩阵法.
练习：
A,B均为n（n≥3）阶方阵，且AB=0，则A与B（ ）
（4） (AT)-1 = (A-1)T ;
（5） |A 1| 1 ; |A|
（6） (Am)-1 = (A-1)m , m 为正整数.
证 明 我 们证只明证 （我３们）只和证（（４３）） 和 （ ４ ）
（ ３ ） (A B（)(３B -）1A -(1A) B= )A(B(B-1BA -1)A=-1A=(ABEBA-1)-1A=-1A=AA-1E A -1 =
的A
|
*每
一
ad
1个 bc元 素dc
,
即ab 可.
得
A 的逆矩
练习：
设
A
1 3
2
4
,
则A*=
, A-1=
。
解答：
A*
4 3
2
1
,
A1 1243
12322
1 1,
2
例 11 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵
2 2 3
(1) A1 1 1 0
就 任
数也何得 的有一到 乘逆点一法运y个Ｐy1运算新在算呢的aa两1有？直1个xx逆1角如坐运坐果标aa算1标有系2 xx，系的中2 那话(的见么，坐图矩这标2阵aa种分.1n4的运x别)x．n乘算记,,法平如为运面何算上定是义否，
二、逆矩阵的概念
定义 7 设 Ａ是 n 阶方阵，若存在 n 阶方
A 则ＡA
nn可12 逆,
，A
则
n1
证
毕
由
可得下述推论：
推论 若 AB ＝ E（或 BA ＝ E），
则 B ＝ A－１.
证 明 ｜ A证｜ ｜明B ｜ ＝A ｜｜｜E ｜B ｜＝＝１｜，E ｜ ＝ １ ，
因 而 A -1 存因在而， A于-1是存 在 ， 于 是 B = E B = (BA -=1AE)B = A(A-1-(1A B)B) = A -1E(A=B )A=-1 A. -1E = A -1 .
D) 若BC=0,则B=0或C=0
解答：可以等式两边同乘A-1 AB=0 A-1AB = A-10 EB=0，故选A
练习：
设n阶方阵A满足A2+2A-4E=0，则必有( )
A) A=E
B)A=-3E
C) A-E可逆 D) A+3E不可逆
解答：因为A与E是可交换的，依题意可得：
A2+2A-4E=0 A2+2A-3E=E (A-E)(A+3E)=E， 根据逆矩阵的定义，(A-E)与(A+3E)互逆。故选C
定理 1 如果 n 阶方阵Ａ可逆，则它的逆
阵是唯一的．
证 明 设 矩证阵明B 设与 矩C 阵都 是B 与A 的C 都逆 是矩 阵A ，的 则逆 有矩 阵 ，
定理A B２＝ BnA ＝阶AE方B，＝阵 BＡAA＝C可＝E逆，C的A ＝充AE要C ＝，条C件A是＝ E ，
|Ａ因|而例0.
A ij 所 构
A) 均为零矩阵
B) 至少有一个零矩阵
C) 至少有一个奇异阵 D) 均为奇异阵
解答：可以等式两边同取行列式 AB=0 |AB|=0 |A||B|=0，故选C
练习：
A,B,C为同阶方阵，A可逆，则下列命题正确的是( )
A) 若AB=0，则B=0
B)若BA=BC,则A=C
C) 若AB=CB,则A=C
= E.
= E.
（ ４ ） A T （(A ４-1)T）= A(AT (-1AA-1))TT== ((EA)-T1A=)TE ,= (E )T = E ,
所 以 (A T所)-1以= (A (-1A)T ).-1 = (A -1)T .
证毕
练习：
设A为n阶可逆矩阵，下列等式成立的是( )
A) (2A)T=2AT
伴 随 矩“ 两阵 调 一 除 ” 法
求 二 阶 矩 阵 的A * 逆 阵dc 可a用b .“两 调 一 除 ”的 方 法 ,
其方法是: 先将矩阵 A 中的主对角线上的
利元
用素
逆调
阵换
公位
式置
,
再A 1
将 |
1
次A |
A对* ,
角当线 |上A
的| 元0
素时调，换有其
符
号
,
最后用
|A
பைடு நூலகம்
|
去A除1
1
A| A
如果Ａ 可逆，则
9
成B
＝的因例行B如而E列9下A＝式方1BB行(|＝阵AA列|C|BA1的)E式|＝A＝各*(| BA个B,A|( A元的) CC素各＝) ＝的个E(CB代元＝A数素)CC余的＝．子代E
式 C数＝余C
子．
其中Ａ证A＊明ijA为所*方必构阵要证成ＡAA性的明1121的如伴若必下AAA随Ａ22要1方211 矩可性阵阵逆A.，2若1
四、可逆矩阵的性质
设 A, B, Ai , (i = 1, 2, …, m), 为 n 阶可逆方阵， k 为非零常数，则
A-1, kA, AB, A1A2…Am , AT 也都是可逆矩阵，且
(1) (A-1)-1 = A;
(2) (kA)1 1A1 ; k
(3) (AB)-1 = B-1A-1,
(A1A2…Am)-1 = Am-1…A2-1A1-1 ;