ˆ ①：y ＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，
ˆ 7)建立模型②：y ＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值． (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【解】(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿元)．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿元)．
第5节 统计与统计案例
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
(i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线
上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型
①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环
(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值 226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型② 得到的预测值更可靠． (给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可)
第5节 统计与统计案例
4．[山东省2020届一模]如图给出了根据我国2012年～2018年水果人均占有量y(单位：kg)和 年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图(2012年～2018年的年份代码x为1～7)．
【解析】∵对两个变量的散点图而言， 若样本点成带状分布，则两个变量具有 线性相关关系，∴两个变量具有线性相 关关系的图是①和④.
【答案】B
第5节 统计与统计案例
2．[湖南长沙长郡中学2019二模]某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示 的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是( )
A．r4<r2<0<r1<r3 B．r2<r4<0<r1<r3 C．r2<r4<0<r3<r1 D．r4<r2<0<r3<r1
这样，回归直线的斜率为 ，截距为 ，即回归方程为
回归直线一定经过样本点的中心
，据此性质可以解决有关的计算问题
．同时可以应用回归方程作出预测．
第5节 统计与统计案例
4．相关系数r
①|r|≤1，当r>0时，两个变量________； 当r<0时，两个变量负相关．
②|r|越接近于1，两个变量的线性相关关 系________；|r|越接近于0，两个变量的线性 相关关系_________．通常当|r|>________时， 我们认为两个变量之间存在较强的线性相关关 系．当|r|＝1时，所有点均在直线上．
第5节 统计与统计案例
2．两个变量线性相关的类型
①正相关：如果两个变量的散点图中的点散布在从__左_下__角___到__右__上__角__的区域，
对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
②负相关：如果两个变量的散点图中的点散布在从__左பைடு நூலகம்_上__角__到__右__下__角__的区域，
对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关．
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5．相关指数R2
R2表达式中的
为确定的数，因此R2越大，意味着残差平方和
越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．R2
2021届全国新高考数学备考复习 统计与统计案例
统计与统计案例
真题自测 考向速览 必备知识 整合提升 考点精析 考法突破
第5节 统计与统计案例
真题自测 考向速览
考点1 变量的相关性
1．[四川广元2019统考]下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有线 性相关关系的是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．①②
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3．回归直线和回归方程
(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在__________附近，就称这两个变量之间 具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．这条回归直线的方程简称回归方程． (2)使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． 利用最小二乘法求回归方程：
境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直
线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长
趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型
可以较好
地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到
的预测值更可靠．
第5节 统计与统计案例
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考点3 独立性检验
第5节 统计与统计案例
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必备知识 整合提升
1．散点图
将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的 两个变量的一组数据的图形叫做散点图，如图所示．
第5节 统计与统计案例
【解析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势 的是负相关；数据越集中分布在一条线附近，说明相关性越强．由题中数据，可 知图(1)(3)为正相关，图(2)(4)为负相关，故r1>0，r3>0，r2<0，r4<0. 又图(1)与(2)中的点更集中分布于一条直线附近，故r1>r3，r2<r4. 因此r2<r4<0<r3<r1.
【答案】C
第5节 统计与统计案例
考点2 回归分析
3．[课标全国Ⅱ2018·18]下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：
亿元)的折线图．
第5节 统计与统计案例
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回 归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型
第5节 统计与统计案例
利用散点图识别两个变量之间的关系 ①如果所有的样本点都落在某一直线附近，两变量之间就有线性相关关系， 如图(1)． ②如果所有的样本点都落在某一函数曲线(不是一条直线)附近，两变量之间 就有非线性相关关系，如图(2)． ③如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则，这两个变量之间就不具有相 关关系，即两个变量之间是相互独立的，如图(3)．