统计案例
一、知识要点
1．回归分析
(1)定义：对具有____________的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ^ ＝b ^ x ＋a ^
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ^ ＝________________，a ^ ＝____________.
(3)相关指数 R 2＝________________________________.R 2的值越大，说明残差平方和________，也就是说模型的拟合效果________．在线性回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R 2越接近于1，表示回归的效果越好．
2．独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的__________，像这类变量称为分类变量．
(2)列联表：列出两个分类变量的__________，称为列联表．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 构造一个随机变量
K 2＝____________________，
其中n ＝____________为样本容量．
(3)独立性检验
利用随机变量________来判断“两个分类变量__________”的方法称为独立性检验．
题型一 线性回归分析 【例1 两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是 ( )
A ．模型1的相关指数R 2为0.98
B ．模型2的相关指数R 2为0.80
C ．模型3的相关指数R 2为0.50
D ．模型4的相关指数R 2为0.25
练习：1.下列说法错误．．
的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程y ^
＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位；
③线性回归方程y ^ ＝bx ＋a 必过(x ，y )；
④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；
2. [2014·新课标全国卷Ⅱ] 某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：
年份2007200820092010201120122013 年份代号t 1234567
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
题型二独立性检验
【例
2某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．说明：下图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．
(1)根据以上数据完成2×2列联表：
主食蔬菜主食肉类合计
50岁以下
50岁以上
合计
附：K2＝
n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
（如下表）
P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
题型三 独立性检验的综合应用
例3
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
(1)(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
练习：为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35
. (1)请将上面的列联表补充完整；
(2)是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
(3)已知喜爱打篮球的10位女生中，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5还喜欢打羽毛球，B 1，B 2，B 3还喜欢打乒乓球，C 1，C 2还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B 1和C 1不全被选中的概率．
课后练习
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
( )
A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
2．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 ( )
①若K 2的观测值满足K 2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．
A ．①
B ．①③
C ．③
D ．②
3．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名
学生，得到如下2×2列联表：则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为
________．
4．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15们的身高和体重制成2×2列联表，根据列联表的数据，可以有________的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
超重 不超重 合计
偏高 4 1 5
不偏高 3 12 15
合计 7 13 20
5．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K 2的观测值k ＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(有关，无关)．
6．为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查对临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：
p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；
q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；
r ：这种血清预防感冒的有效率为95%；
s ：这种血清预防感冒的有效率为5%.
则下列结论中，正确结论的是________．
7. 下列命题正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
（1）回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；
（2）线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
（3）残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；
（4）用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好．
（5）在回归线方程=0.4x+12中，变量x 每增加一个单位，
平均增加约为0.4个单位
8.[2014·辽宁卷] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1-4所示．
理科 文科 男 13 10 女 7 20
图1-4
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．。