第4章不定积分
分部积分法
【教学目的】：
1. 理解分部积分法；
2. 能熟练地运用分部积分法求解不定积分。

【教学重点】：
1.分部积分法。

【教学难点】：
1.分部积分法应用中u和v的选择。

【教学时数】：2学时
【教学过程】：
我们在求积分时，经常会遇到被积函数是两类不同函数乘积的不定积分，这类积分用我们上一节学习的换元积分法很难求出来，这一节我们就学习解决这类积分的积分方法：分部积分法.
设u u(x),v v(x)有连续的导数，由(uv)' u'v uv'，得uv' (uv)' u'v两边
积分，有uv'dx (uv)' dx u'vdx 即udv uv vdu ①式①称为分部积分公式，使用分部积分公式求不定积分的方法称为分部积分法.
利用分部积分公式解题的关键是如何恰当的选取u和dv,选取原则是：
(1)v要容易求出.
(2)vdu要比原积分udv易求得.
下面通过例子说明分部积分公式适用的题型及如何选择u和dv :
例 1 求xcosxdx .
解令u x,dv cosxdx,贝U v sin x，于是
xcosxdx xd(sinx) xsinx sin xdx xsinx ( cosx) C
xsinx cosx C .
1
此题若令u cosx,dv xdx,则v x2，于是
2
xcosxdx cosxd - x cosx —X — x 2d(cosx)
2 2 2 1 2 1 2
x cosx x sin xdx . 2 2 1
这样新得到的积分 x 2 sin xdx 反而比原积分 xcosxdx 更难求了.所以在 2
分部积分法中，u u(x)和dv dv(x)的选择不是任意的，如果选取不当，就得不 出结果.
例 2 求 xe x dx .
解设u x,dv e x dx ，则v e x ，于是
x x x x x x
xe dx xde xe e dx xe e C .
注：在分部积分法中，u 及dv 的选择有一定规律的.当被积函数为幕函数与 正（余）弦或指数函数的乘积时，往往选取幕函数为 u .
例 3 求 x 2 In xdx .
例 4 求 arctanxdx . 解 设 u arctan x, dv dx ，贝U v x ，于是
注1如果被积函数含有对数函数或反三角函数， 可以用考虑用分部积分法, 并设对数函数或反三角函数为u .
注2在分部积分法应用熟练后，可把认定的u , dv 记在心里在而不写出来, 直接在分部积分公式中应用. 2 1 3
1 3, 1 3
x In xdx In xdx x In x — x d(l n x) 3 3 3 1 3, 1 2」 1 3 , 1 3
x In x — x dx - x I n x x 3 3 3 9 C
.
解为使v 容易求得，选取u
2 In x, dv x dx 1
3 1 3 d 2x ，则v 3x ，于是 arcta nxdx x arcta nx xd (arctanx) xarctanx 1 1 x 2
dx xarcta nx Jd(1 x 2) 2 1 x 2 xarcta nx 1ln(1 x 2)
例 6 求 e x sinxdx .
e x d( cosx) e x cosx e x cosxdx x x x x x
e cosx e d(sinx) e cosx e sinx e sinxdx .
如果被积函数为指数函数与正（余）弦函数的乘积，可任选项其一为u ,
但一经选定，在后面的解题过程中要始终选项其为 u .
注2有时求一个不定积分，需要将换元积分法和分部积分法结合起来使 用.（如下例）
例7求e x dx .
解 先去根号，设X t ，则x t 2,dx 2tdt ，于是
e"dx e 2tdt 2 tdd 2td 2 Edt
2td 2e t C 2e x . x 1 C .
例8 已知f （x ）的一个原函数是（1 sinx ）ln x ,试求
解 由题意知 f(x)dx (1 sinx)lnx C ，得
f(x)
[ f(x)dx]' [(1 sinx)lnx C]' cosxlnx xf'(x)dx xf(x) f (x)dx
x cos x l nx 1 sinx (1 sin x)l nx C .
【教学小节】：
通过本节的学习，学会使用分部积分法计算不定积分
【课后作业】：
能力训练 P117 1 （1、3、6、7、9）
e x sin xdx
移项，得 2 e x sin xdx
x e (sinx cosx) 2G , e x sin xdx
1e x (sin x cosx) C . xf'(x)dx . 1 sin x 所以
xf(x) xcosxlnx 1 sinx .。