《高等数学》教案第一讲 函数与极限1.函数的定义 设有两个变量x ，y 。

对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。

记作y=f(x)，x ∈D 。

其中x 叫自变量，y 叫因变量。

函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。

例1：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x).解：设x+1=t 得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2∴f(x)=2x 2 – x – 2定义域：使函数有意义的自变量的集合。

因此，求函数定义域需注意以下几点：①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0例2 求函数y=6—2x －x +arcsin712x －的定义域. 解：要使函数有定义，即有：1|712|062≤-≥--x x x ⇔ 4323≤≤--≤≥x x x 或⇔4323≤≤-≤≤-x x 或 于是，所求函数的定义域是：[-3，-2] [3，4].例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？ （1）y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x解 （1）中两函数的 定义域不同，因此不是相同的函数. （2）中两函数的 对应法则和定义域均相同，因此是同一函数. 2. 初等函数（1）基本初等函数常数函数：y=c(c 为常数) 幂函数： y=μx （μ为常数） 指数函数：y=xa (a>0，a ≠1，a 为常数) 对数函数：y=x a log (a>0，a ≠1，a 为常数)三角函数：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx（2）复合函数 设),(u f y =其)(x u ϕ=中，且)(x ϕ的值全部或部分落在)(u f 的定义域内，则称)]([x f y ϕ=为x 的复合函数，而u 称为中间变量.例4：若y=u ，u = sinx ，则其复合而成的函数为y=x sin ，要求u 必须≥0，∴sinx ≥0，x ∈[2k π，π+2k π]例5：分析下列复合函数的结构（1）y=2cotx （2）y=1sin 2+x e解：（1）y=u ，u=cosv ，v=2x（2）y=ue ，u=sinv ，v=t ，t=x 2+1例6：设f(x)=2x g(x)=x 2 求f[g(x)] g[f(x)]解：f[g(x)]=f(x 2)=(x 2)2=4x g[f(x)]=g(2x )=22x3. 极限（1）定义 函数y=f(x)，当自变量x 无限接近于某个目标时（一个数x 0，或+∞或—∞），因变量y 无限接近于一个确定的常数A ，则称函数f(x)以A 为极限。

定理1 函数 )(x f 当0x x →时的极限存在的充分必要条件是，)(x f 当0x x →时的左右极限都存在并且相等.即 ⇔=→A x f x x )(lim 0=-→)(lim 0x f x x A x f x x =+→)(lim 0例7：判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴ ⎩⎨⎧<>+=2,2,1x x x x y （当2→x 时） ⑵ ⎪⎩⎪⎨⎧><=0,310,sin x x x x y （当0→x 时）解：⑴ ∵3lim ,2lim 22==+-→→y y x x ，yy x x +-→→≠22lim lim∴ 函数在指定点的极限不存在。

⑵ ∵0031lim ,00sin lim 00=⨯===+-→→y y x x ，y y x x +-→→=00lim lim∴ 函数在指定点的极限y x 0lim →=04.无穷小量与无穷大量极限为0的量称为无穷小量，简称无穷小；若∞=→)(lim 0x f x x （或∞=∞→)(lim x f x ）,则称)(x f 为当0x x →（或）时的无穷大量,简称无穷大。

例如：0sin lim 0=→x x ，所以，当x →0时，sin x 是无穷小量。

同样，当x →0时αx (α>0)，1-cosx ，arcsinx 等都是无穷小量。

当x →+∞时，01lim =+∞→n n ，所以{n1}是无穷小量.无穷小量的性质：（1）有限个无穷小量的代数和是无穷小量。

（2）无穷小量与有界量之积是无穷小量。

推论1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。

推论2：有限个无穷小量之积是无穷小量。

（注：两个无穷小之商未必是无穷小） 5.极限的运算设x 在同一变化过程中)(lim x f （此处省略了自变量x 的变化趋势，下同）及)(lim x g 都存在，则有下列运算法则：法则1、lim [f(x)±g(x)]= lim f(x)± lim g(x) 法则2、lim [f(x)• g(x)]= lim f(x) •lim g(x) 法则3、lim)()(x g x f =)(lim )(lim x g x f （lim g(x)≠0） (1)直接代入求值 例8 求2lim →x (3x 2-4x+1)解：2lim →x (3x 2-4x+1)=3•22-4•2+1=5例8 求1lim -→x 234222+-+x x x解：1lim -→x 234222+-+x x x =)23(lim )42(lim 2121+-+-→-→x x x x x = -53例10 求45127lim 224+-+-→x x x x x解：45127lim 224+-+-→x x x x x =4lim →x )4)(1()4)(3(----x x x x =4lim →x 13--x x =31（2）∞∞型 例11 求∞→x lim 233222+--+x x x x解：∞→x lim 233222+--+x x x x =∞→x lim 22213312xx x x +--+=32 小结：∞→x 时，∞∞型的极限，可用分子分母中x 的最高次幂除之（3）∞-∞型，0型，例12 求下列函数极限1、1lim →x （313x --x-11） 2、0lim →x x x 11-+ 3、+∞→x lim 31cos xx x +解：1、1lim →x （313x --x -11）=1lim →x )1)(1()1(322x x x x x ++-++- =1lim→x )1)(1()1)(2(2x x x x x ++--+=1lim →x 212xx x+++=1 2、0lim→x x x 11-+=0lim →x )11()11)(11(++-+-+x x x x =0lim→x )11(++x x x =0lim→x 111++x =213、+∞→x lim31cos xx x +=+∞→x limx xx cos 13•+=0（4）利用两个重要极限100lim→x xxsin =1特点：①它是“00”型 ②1sin lim 0=∆∆→∆ （三角形∆代表同一变量）例13 求∞→x lim x x 1sin •解： 0lim →x x x 2sin =0lim →x 222sin •x x=2注：∞→x limxxsin ≠1 ∞→x limxx sin =∞→x lim x x sin 1•=0 例14 求∞→x lim xx 1sin •解： ∞→x lim x x 1sin •=∞→x limxx 11sin=1 例15 求0lim →x x x4sin 3sin解： 0lim →x x x 4sin 3sin =0lim →x [x x x x x x 4sin 44333sin ••]=43例16 求20cos 1lim x xx -→解：原式=0lim→x 222sin 2x x=0lim →x [21)22sin (2•x x ]=210lim →x [22sin x x ]2=21 20 ∞→x lim （1+x1）x= e 特点：（１）∞→x lim (1+无穷小)无穷大案 ，即1∞型；（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数，e =∆+∆∞→∆)11(lim 推广：①e x xx =+→1)1(lim ②e =∆+∆→∆10)1(lim例17 ∞→x lim （1+x21）x3 解：原式=∞→x lim [x x2)211(+]23=23e例18 ∞→x lim （1+x21）23+x 解：原式=∞→x lim [（1+x 21）23+x •（1+x 21）2]=∞→x lim （1+x 21）x 3•∞→x lim （1+x21）2=23e例19 ∞→x lim （1+x3）x解：原式=∞→x lim （1+31x）33•x=3e（5）利用常用的几个等价无穷小代换：当0→x 时，有x sin ～ x ；tanx ～x ；arcsinx ～x ；arctanx ～x ；-1cosx ～22x ；ln(1+x) ～x ；xe 1-～x ；11-+x ～x 21。

例20 求0lim→x x x4sin 3sin解：0lim →x x x 4sin 3sin =0lim →x x x 43=43例21 求0lim →x 2cos 1x x-解：0lim →x 2cos 1x x -=0lim →x 222x x =21例22 求0lim→x x x5sin 2tan解：0lim →x x x 5sin 2tan =0lim →x x x 52=52例23 0lim →x 3sin tan xxx - 解：0lim →x x x x x cos )cos 1(sin 3-=0lim →x xx xx cos 2132••=0lim →x x cos 21=21 注：10用等价代换时，必须对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因式进行替换）20分子或分母中若有“+”“-”号连接的各部分不能分别作替换。

（6）利用函数的连续性定义 1 设y=f(x)在点0x 的某邻域上有定义，如果自变量的增量0x x x -=∆趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x 则称f(x)在点0x 是连续的。

定义2 设函数y=f(x)在点0x 的某邻域内有定义，若)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数f(x)在点0x 处连续。

定义3（间断点的分类）：设0x 是)(x f 的一个间断点，如果：（1）)(x f 的左右极限都存在，称0x 为)(x f 第一类间断点，当-→0lim x x )(x f +→≠0lim x x )(x f ，则称0x 为)(x f 的跳跃间断点（2）)(x f 的左右极限都存在，称0x 为)(x f 第一类间断点，当)(lim 0x f x x →存在，但不等于)(0x f ，则称0x 为)(x f 的可去间断点（3）除（1）（2）以外的，称0x 为)(x f 的第二类间断点，当0lim x x →)(x f =∞，称0x 为)(x f 的无穷间断点。