切线证明法切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可． 证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。

∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=BC，∴∠3=∠4.⌒⌒∴BD=DE，∠1=∠2.又∵OB=OE,OF=OF，∴△BOF≌△EOF（SAS).∴∠OBF=∠OEF。

∵BF与⊙O相切,∴OB⊥BF.∴∠OEF=900.∴EF与⊙O相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD。

求证：PA与⊙O相切.证明一：作直径AE，连结EC。

∵AD是∠BAC的平分线, ∴∠DAB=∠DAC.∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.又∵∠B=∠E, ∴∠1=∠E∵AE是⊙O的直径，∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=900。

∴∠1+∠EAC=900。

即OA⊥PA.∴PA与⊙O相切。

证明二：延长AD交⊙O于E,连结OA,OE。

∵AD是∠BAC的平分线，⌒⌒∴BE=CE，∴OE⊥BC。

∴∠E+∠BDE=900.∵OA=OE,∴∠E=∠1。

∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA.又∵∠PDA=∠BDE，∴∠1+∠PAD=900即OA⊥PA。

∴PA与⊙O相切说明：此题是通过证明两角互余,证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用。

【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.证明一：连结OD。

∵AB=AC,∴∠B=∠C。

∵OB=OD,∴∠1=∠B.∴∠1=∠C。

∴OD∥AC.∵DM⊥AC，∴DM⊥OD。

∴DM与⊙O相切证明二：连结OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB=AC,∴∠1=∠2.∵DM⊥AC，∴∠2+∠4=900∵OA=OD，∴∠1=∠3。

∴∠3+∠4=900.即OD⊥DM.DC∴DM 是⊙O 的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的,解题中注意充分利用已知及图上已知.【例10】 如图，已知：AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,且∠CAB=300，BD=OB,D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ，∴∠A=∠1=∠300。

∴∠BOC=∠A+∠1=600.又∵OC=OB ， ∴△OBC 是等边三角形. ∴OB=BC 。

∵OB=BD ， ∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线。

说明：此题解法颇多,但这种方法较好。

【例12】 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP. 求证：PC 是⊙O 的切线。

证明：连结OC∵OA 2=OD ·OP,OA=OC, ∴OC 2=OD ·OP ，OCOPOD OC . D又∵∠1=∠1,∴△OCP∽△ODC。

∴∠OCP=∠ODC.∵CD⊥AB，∴∠OCP=900.∴PC是⊙O的切线。

说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13】如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点,AG交BD于E，交CD于F。

求证：CE与△CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形,圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O,连结OC，证明CE⊥OC即可得解。

证明：取FG中点O，连结OC。

∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，△CFG是Rt△∵O是FG的中点，∴O是Rt△CFG的外心.∵OC=OG,∴∠3=∠G，∵AD∥BC，∴∠G=∠4.∵AD=CD，DE=DE,∠ADE=∠CDE=450，∴△ADE≌△CDE（SAS）∴∠4=∠1，∠1=∠3。

∵∠2+∠3=900，∴∠1+∠2=900.即CE⊥OC.∴CE与△CFG的外接圆相切二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l,A为垂足,证明OA是⊙O的半径就行了，简称:“作垂直;证半径”【例14】如图，AB=AC，D为BC中点,⊙D与AB切于E点。

求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE,作DF⊥AC,F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD,∴△BDE≌△CDF（AAS)∴DF=DE.∴F在⊙D上。

∴AC是⊙D的切线证明二：连结DE,AD，作DF⊥AC,F是垂足。

∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB。

∵AB=AC,BD=CD，∴∠1=∠2.∵DE⊥AB，DF⊥AC,∴DE=DF.∴F在⊙D上。

∴AC与⊙D相切。

说明:证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的,证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE 的，这类习题多数与角平分线有关。

【例15】已知：如图,AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD,若∠COD=900。

求证:CD是⊙O的切线.证明：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.∵AC，BD与⊙O相切，∴AC⊥OA，BD⊥OB。

∵AC∥BD,∴∠F=∠BDO。

又∵OA=OB，∴△AOF≌△BOD（AAS）∴OF=OD.∵∠COD=900,∴CF=CD，∠1=∠2.又∵OA⊥AC，OE⊥CD,∴OE=OA.∴E点在⊙O上.∴CD是⊙O的切线.。