圆中与有关切线的问题
基础知识：
一、切线的定义：①与圆只有一个公共点的直线。

②若圆心到直线的距离与半径相等。

二、切线的性质：
1、若Ｌ是圆的切线，则圆心到直线的距离等于半径。

2、圆的切线垂直过切点的半径。

3、推论：圆心、切点、垂直
三、切线的判定：
1、定义法：与圆只有一个公共点。

2、数量法：∵d=r ∴直线是圆的切线
3、过半径的外端且与它垂直的直线。

方法：a、有明确的公共点，作半径，证垂直；
b、无明确公共点，过圆心作垂直，证半径。

四、与切线有关的问题：
1、切线长定理：
a、切线长定义：
b、切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，这两条切线相等，连接圆心与圆
外的点平分两切线所成的角。

2、弦切角：
a、弦切角的定义：
b、弦切角定理（不能直接用）
弦切角等于弦切角所夹弧所对的圆周角。

3、三角形的内切圆：
a、定义：如果三角形的三边都与这个圆相切，则这个圆叫这个三角形的内切圆。

b、Rt△内切圆半径公式：
Rt△内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半。

c、四边形内切圆：对边和相等。

d、公切线（长）
五、常用辅助线：作半径。

能力测试：
一、填空题。

1、直线L与半径为r的⊙O相交，且点O到直线L的距离为5，则r的取值范围是。

2、在射线OA上取一点P，使OP＝4cm，以P为圆心作直径为4cm的圆，若
⊙P与射线OB相交，则锐角∠AOB的取值范围是。

3、如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，∠A＝20°，则∠DBE＝。

4、如图，AB为⊙O的直径，延长AB至D，使BD=OB，DC切⊙O于C，则
AC：AD＝。

5、如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O的点，∠BAC＝20°，
⋂
⋂
=DC
AD，DE是
⊙O的切线，则∠EDC的度数为。

6、OA 、OB 是⊙O 的两条半径，BC 是⊙O 的切线，且∠AOB ＝84°，则∠ABC 的度数为 。

二、选择题。

1、下列命题中，错误的是（ ）
A 、垂直于弦的直径平分这弦；
B 、弦的垂直平分线过圆心；
C 、垂直于切线的直线必过圆心；
D 、经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。

2、如图，Rt △ABC ，∠C ＝90°，AC=4，BC=3，以BC 上一点O 为圆心作
⊙O 与AB 相切于E ，与AC 相切于C ，又⊙O 与BC 的另一个交点为D ，则线段BD 的长为（ ）
A 、1
B 、21
C 、31
D 、4
1 3、如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠ACB ＝90°，且AB ＝13，AC=12，则图中阴影部分的面积是（ ）
A 、30－π
B 、30－2π
C 、30－3π
D 、30－4π
4、如图，△ABC ，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，AC=8cm ，点P 由C 出发，以每秒2cm 的速度沿线段CA 向点A 运动（不运动到A 点）⊙O 的圆心在BP 上，且 ⊙O 分别与AB 、AC 相切，当点P 运动2秒时，⊙O 的半径是（ ）
A 、712cm
B 、512cm
C 、35cm
D 、2cm
5、如图，直线PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 分别为切点，∠APB=120°，OP ＝10cm ，则弦AB 的长为（ ）
A 、35cm
B 、5cm
C 、310cm
D 、2
35cm ﹒ E B
A C O D 第3题图 ﹒ O A B
D C 第4题图 O · D
E C A B 第5题图 ﹒ O B D E C A 第2题图 ﹒ O A C
B 第3题图 ﹒ O A P D
C B E 第4题图 ﹒ O
A P
B 第5题图
6、已知两圆半径分别为1与5，圆心距为4，则这两圆的位置关系是（ ）
A 、外离
B 、外切
C 、相交
D 、内切
三、解答题
1、如图，A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于B 点，
OC=BC ，AC=2
1OB 。

求证：（1）AB 是⊙O 的切线；
（2）若∠ACD ＝45°，OC ＝2，求弦CD 的长。

2、如图，在⊙O 中，AB 是直径，∠BOC ＝120°，PC 是⊙O 的切线，切点是C ，点D 在劣弧 BC 上运动，当∠CPD 满足什么条件时，直线PD 与直线AB 垂直证明你的结论。

3、已知：如图△ABC ，AD ⊥BC 于D ，AD=
2
1BC ，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，以EF 为直径作半圆O 。

求证：BC 是⊙O 的切线。

O ﹒
C
B A D O ﹒
A B
C P · C F O
G E A B D
4、已知⊙O 的两半径OA 、OB 互相垂直，过A 的一条直线交OB 于P ，交⊙O 于Q ，过Q 引圆的切线交OB 的延长线于C ，且QC=QP ，求∠A 。

5、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CA ⊥AB ，CB 交⊙O 于E ，过E 作⊙O 的切线交AC 于D 。

求证：CD=DA 。

6、如图，PA 切⊙O 于A ，AC 是⊙O 直径，PBC 是⊙O 的割线，AD 平分∠CAB ，∠APD 的平分线交AD 于E 。

求证：PE ⊥AD 。

7、已知：如图△ABC ，∠B ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D 。

求证：（1）DE ∥OC
（2）AD=2，DC=3。

求tan ∠ADE 的值。

B O
﹒ C Q P A
O
﹒ B A D
E C
P O ﹒ E A B
D C O ﹒ C
B D
A E
8、如图，已知⊙O 的外切等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB=DC ，梯形中位线为EF 。

（1）求证：EF ＝AB ；
（2）若EF=5，AD ：BC ＝1：4，求此梯形ABCD 的面积。

9、如图，正方形ABCD 中，有一直径为BC 的半圆，BC=2cm ，现有两点E 、F ，分别从点B 、点A 同时出发，点E 沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动，点F 沿折现A －D －C 以2cm/s 的速度向点C 运动，设点E 离开点B 的时间为t(s)。

（1）当t 为何值时，线段EF 与BC 平行
（2）设1＜t ＜2；当t 为何值时，EF 与半圆相切。

10、已知：PA 、PB 切⊙O 1于A 、B ，⊙O 2与PA 、PB 、⋂AB 都相切，∠AO 1B ＝120°。

求证：⋂AB 的长等于⊙O 2的周长。

O ﹒ A
B
E D
F C
C A
E ﹒ O 1 ﹒ O 2 · P A B。