则这两个级数的敛散性相同。
sin 1 的敛散性。 例1 判别级数 n
n 1

sin 1 是正弦级数，因为 lim 解：易知 n
n 1
n
1 n 发散，故级数 sin 1 发散。 而 n1 n n 1

sin
1 n
1 n 1
，

二、比值审敛法
若 是正弦级数，且 时，级数
定义
如果 lim S n S ，则称级数 u n 收敛，称极限值S 为级 n n 1

数的和，记作
S n u n u1 u 2 u n
n 1

此时称 rn
S S n S n 1 S n 2 为级数的余项。如果lim S n n
n 1 n
u 不存在，则称级数
发散，发散的级数没有和。
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1. 判定下列级数的敛散性 （1） 1 2 3 n
1 1 1 1 1 (1) n1 （2） 1 1 1 1 （3） 1 2 2 3 3 4 n(n 1)
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内容提要
无穷级数
无穷级 数概念 和性质
正项 级数
任意 项 级数
幂级 数
函数的 傅立 正弦与余 周期为2L 傅立叶 弦级数 的函数 级数的 幂级 叶 的傅立 复数 数展开 级数 周期延拓 叶级数 形式
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第一节 无穷级数概念与性质

解： 当 x 0 时，有 x ln(1 x) （此不等式可用函数的 单调性来证明） 所以 1
1 1 1 2 3 n 1 1 1 ln(1 1) ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) 2 3 n 3 4 n 1 ln 2 ln ln ln 2 3 n
u
n 1

n
，则：
（1） 当
收敛
（2） 当
时，级数
发散。
（3） 当
时，级数
的敛散性须另行判定。
例5 判断下列级数的敛散性
an （1） n ( a 0 ) n 1

nn (2) n! n 1

(3)
2n
n 1

n
解： （1）
u n 1 lim n u n
1
n
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) ( p p p ) 2 3 4 5 6 7 8 9 15 2 4 8 1 p p p 2 4 8 1 1 1 1 p 1 2 p 2 3 p 3 2 2 2

1 1 1 2 解：（ 1） 因为 n 2 n 2 n ，而 n 2 是 p 2 1 n 1
的
p
1 级数，故级数 n 2 n 2 是收敛的。 n 1

（2） 当 x 0 时，有 x ln(1 x) ， 1 1 所以， n ln(1 n) ，即 ln(1 n) n ， 1 n 是发散的，故级数 ln(11 n) 发散。 而 n1 n 1
1 3 它反映了级数 10 n 的无穷多项累加的结果为 3 ，我们 n 1
1 3 把极限值 3 叫作级数 10 n 的“和” 。 n 1

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一般的，对级数 项，…的和 即 ， ，
un ，分别取它的前 1 项，2 项，…，
n 1

，…，
，…
n
1 注： ） lim u n 0 只是级数收敛的必要条件而不是充分条件； n 2） 若 lim u n 0 不成立，则级数必定发散。我们经常用 n 这个结论来证明级数发散。
例 5 判别级数

n 1

n
0.01 的敛散性。
2 n
解：u n n 0.01 10
所以 lim u n lim 10
n 1
n 1 发散。 n
a aq aq 2 aq n1 (a 0)
的敛散性。 解：此级数的部分和为
例 3 讨论 等比级数 （又称 几何级数 ）
a (1 q n ) Sn 1 q
三、无穷级数的性质
性质 1 若 性质 2 若
n
u
n 1
n 1

重点：（1） 级数及其收敛与发散 （2） 级数的基本性质 （3） 级数收敛的必要条件 难点: 用定义判断级数的敛散性

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一、无穷级数的基本概念
定义 ：给定序列 u1 ， u 2 ， u 3 ，…， u n ，…，则式子
u1 u 2 u 3 u n
（2） 级数的部分和为
S1 1 ， 2 0 ， S 3 1 ，S 4 0 ，…… S
即S
2 n 1
1 ， S 2n 0
(1) n 1 发散。
n 1
所以 （3）因为
lim S n 不存在，所以级数
n
1 1 1 ， n(n 1) n n 1
（4） ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 1 2 3 n 解：（1） 级数的部分和为
Sn 1 2 3 n n(n 1) 2
lim S n lim
n
n(n 1) n 2
所以级数
n
n 1
发散。

n n 1 2 （4） 因为 n 2 1 n n n 1 ，
1 而级数 n 1 是发散的 n 1

n 2n 1 发散。 故级数
n1

比较判别法的极限形式：
设 u n 和 n 1 n 1

vn

un a aR ， 是两个正项级数，若 n v n ， lim
S3
3 3 3 2 3 0.333 10 10 10 ……………………
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3 3 3 3 Sn 2 3 n 0.333 3 10 10 10 10
………………… 当 n 时，有
1 lim S n 0.333 3 0.3 n 3

称为无穷级数，简称级数，缩记为 u n ，即 n 1
u
n 1

n
u1 u 2 u 3 u n
，
其中 u n 叫做级数的一般项（或称通项） 。 当级数的每一项都是常数时，称级数为常数项级数，简称数项 级数。当级数的每一项都是函数时，称级数为函数项级数。
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…………………… S1 …………………… S 1 u1 设数列 ， ， ，…，
S2
S3
S
S 2 u1 u 2
，…为级数
的部分和
数列（简称部分和） ，这样，就可以把无穷多项求和的问题归
结为求相应的部分和数列的极限问题。
S n u1 u2 un
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例4 判别级数

2 (1) n 1 2 (1) n 1 ( 3n ) 3n 3n n 1 n 1 n 1
2
1 1 1 1 5 2 n 4 2 4 4 n 1 3

四、级数收敛的必要条件
定理：若级数
u
n 1

n
收敛，则lim u n 0 。 n
高等） ISBN： 978-7-111-31288-8 作者：陶金瑞 出版社：机械工业出版社 本书配有电子课件
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第九章 无穷级数
学习目标：
理解无穷级数收敛与发散的基本概念，掌握正 项级数和交错级数的审敛法；
掌握简单幂级数收敛于的求法，会将简单的函 数用间接展开法展开成幂级数； 掌握将周期函数和奇、偶函数展开为傅里叶级 数的方法。
n n

2 n
1 0
由级数收敛的必要条件得原级数是发散的。
第二节 正项级数
重点： 正项级数收敛性的两个判别法 难点： 比较判别法中尺度的选择

一、比较审敛法
1. 如果级数
u
n 1

n
的每一项 u n 0 ，则称

u
n 1

n
为正项级数
2. 设正项级数
u 和 v n 满足： n 1
2 (1) n 1 是否收敛，如果收敛，并求其和。 ( 3n ) n 1 1 1 1 3 1 解： 3 n 是 q 的等比级数，收敛并且和为 。 1 2 n 1 3 1 同理 1 3 n 1 (1) 1 3 3n 1 4 n 1 1 3 2 (1) n 1 也收敛，其和为 根据级数的性质 1，2 可知， ( ) 3n n 1
（4）
因为 ln 所以
n 1 ln(n 1) ln n n
，
S n (ln 2 ln 1) (ln 3 ln 2) (ln 4 ln 3) (ln(n 1) ln n) ln(n 1)
而 lim S n lim ln(n 1) n n 所以级数 ln
例 2 讨论 p
1 级数 n p n 1

( p 0) 的敛散性。
解：（ 1） 当 p 1 时，p 级数为调和函数，故发散。
p 1 1 2） 当 p 1时， n n ，因此 p （ ，