1.如图,已知△ABC 是正三角形,EA ,CD 都垂直于平面ABC ,且EA =AB =2a ,DC =a ,F 是BE 的中点.(1)FD ∥平面ABC ;(2)AF ⊥平面EDB .2.已知线段PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M 、N 分别是AB 、PC 的中点。
(1)求证:MN //平面PAD ;(2)当∠PDA =45°时,求证:MN ⊥平面PCD ;FCBAEDA B C D EF 3.如图,在四面体ABCD 中,CB=CD,BD AD ⊥,点E ,F 分别是AB,BD 的中点.求证: (1)直线EF// 面ACD ;(2)平面⊥EFC 面BCD .4.在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中,底面是等腰三角形,AB =AC ,侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC (1)若D 是BC 的中点,求证AD ⊥CC 1;(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ,若AM =MA 1, 求证截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ;(3)AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗?请你叙述判断理由]立体几何大题训练(3)C15. 如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 、G 分别是A 1A ,D 1C ,AD 的中点. 求证:(1)MN//平面ABCD ;(2)MN ⊥平面B 1BG .6.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 为棱AD 、AB 的中点. (1)求证:EF ∥平面CB 1D 1;(2)求证:平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.立体几何大题训练(4)7、如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB ∥CD ,AB=4,BC=CD=2,AA 1=2,_ G_ M _ D_1_ C_1_ B_1_ A_1_ N_ D _ C_ B _ ABA 1FE、E1分别是棱AD、AA1的中点(1)设F是棱AB的中点,证明:直线EE1∥面FCC1;(2)证明:平面D1AC⊥面BB1C1C。
8.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a2,点E,F分别在PD,BC上,且PE:ED=BF:FC。
(1)求证:PA⊥平面ABCD;(2)求证:EF//平面PAB。
立体几何大题训练(5)9.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=3,AC=AB=4,PB=PC=BC=5,D、E分别是BC、AC的中点,F为PC 上的一点,且PF :FC=3:1. (1)求证:PA ⊥BC ;(2)试在PC 上确定一点G ,使平面ABG ∥平面DEF ; (3)求三棱锥P-ABC 的体积.10、直三棱柱111C B A ABC -中,11===BB BC AC ,31=AB .(1)求证:平面⊥C AB 1平面CB B 1; (2)求三棱锥C AB A 11-的体积.立体几何大题训练(6)APBCD EFABCCAB11、如图,已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都是2,D 、E 分别为CC 1、A 1B 1的中点. (1)求证C 1E ∥平面A 1BD ; (2)求证AB 1⊥平面A 1BD ;12.如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB=2,AA 1=1,D 是BC 的中点,点P 在平面BCC 1B 1内,PB 1=PC 1=.2 (I )求证:PA 1⊥BC ;(II )求证:PB 1//平面AC 1D ;立体几何大题训练(7)13.如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,EDCB 1C1 A 1 AB使平面EDB ⊥平面ABD(I )求证:AB DE ⊥(Ⅱ)求三棱锥E ABD -的侧面积。
14. 如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,侧棱PA PD ⊥,底面ABCD 是直角梯形,其中//BC AD ,090BAD ∠=,3AD BC =,O 是AD 上一点. (Ⅰ)若//CD PBO 平面,试指出点O 的位置; (Ⅱ)求证:PAB PCD ⊥平面平面.立体几何大题训练(8)15、如图所示:四棱锥P-ABCD 底面一直角梯形,BA ⊥AD ,CD ⊥AD ,CD=2AB ,PA ⊥底面ABCD ,E 为PC 的中点.OPDCBA第14题(1)证明:EB∥平面PAD;(2)若PA=AD,证明:BE⊥平面PDC;16.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点。
(I)求证:CD⊥平面A1ABB1;(II)求证:AC1//平面CDB1。
立体几何大题训练(9)17.如图,四边形ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,BE=BC,F为CE上的一点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥BE;D C(2)求证:AE ∥平面BFD .18.如图所示,在直三棱柱111C B A ABC -中,1AB BB =,1AC ⊥平面D BD A ,1为AC 的中点. (1)求证://1C B 平面BD A 1;(2)求证:⊥11C B 平面11A ABB ;(3)设E 是1CC 上一点,试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面BDE ,并说明理由.立体几何大题训练(10)19.如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,AB AC =,D 、E 分别为BC 、C B 1的中点,(1)求证:11//DE ABB A 平面; (2)求证:1ADE B BC ⊥平面平面A 1B 1C 1AB CD20.如图,E 、F 分别为直角三角形ABC 的直角边AC 和斜边AB 的中点,沿EF 将AEF ∆折起到'A EF ∆的位置,连结'A B 、'A C ,P 为'A C 的中点. (1)求证://EP 平面'A FB ;(2)求证:平面'A EC ⊥平面'A BC ;立体几何大题训练(11)21.如图,四棱锥P —ABCD 中,四边形ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,且E 、O 分别为PC 、BD 的中点.求证:(1)EO ∥平面PAD ;(2)平面PDC ⊥平面PAD . P22.在四棱锥P -ABCD 中,∠ABC =∠ACD =90°,∠BAC =∠CAD =60°,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点,PA =2AB =2.(Ⅰ)求四棱锥P -ABCD 的体积V ; (Ⅱ)若F 为PC 的中点,求证PC ⊥平面AEF ; (Ⅲ)求证CE ∥平面PAB .立体几何大题训练(12)23.在四棱锥ABCD O -中,底面ABCD 为菱形,ABCD OA 平面⊥,E 为OA 的中点,F 为BC 的中点,连接EF ,求证:P A BCDEF(1) BDO ACO ⊥平面平面 (2) OCD EF 平面直线//24、已知:等边ABC ∆的边长为2,E D ,分别是AC AB ,的中点,沿DE 将ADE ∆折起,使DB AD ⊥,连AC AB ,,得如图所示的四棱锥BCED A -(Ⅰ)求证:⊥AC 平面ABD (Ⅱ)求四棱锥BCED A -的体积立体几何大题训练(13)25、如图,在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,PA =AD ,E 是PD 的中点(1)求证:PB ∥平面AECABEDCABCE DEP(2)求证:平面PDC ⊥平面AEC26.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点,点D 在11B C 上,11A D B C ⊥。
求证:(1)EF ∥平面ABC ;(2)平面1A FD ⊥平面11BB C C .立体几何大题训练(14)27、如图所示,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别为1DD 、DB 的中点.(1)求证:EF //平面11ABC D ;(2)求证:1EF B C ⊥;(3)求三棱锥EFC B V -1的体积.28.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长与侧棱长都是2,,D E 分别是11,BB CC 的中点. (Ⅰ)求三棱柱111ABC A B C -的全面积; (Ⅱ)求证:BE ∥平面1ADC ;(Ⅲ)求证:平面1ADC ⊥平面11ACC A .立体几何大题训练(15)CD BFED 1C 1B 1A A 1C 1B 1A 1EDCBA29.已知直三棱柱111ABC A B C -中,ABC ∆为等腰直角三角形,090BAC ∠=,且12AB AA ==,,,D E F 分别为11,,B A C C BC 的中点, (1)求证:DE //平面ABC ; (2)求证:1B F ⊥平面AEF ; (3)求三棱锥E-AB 1F 的体积。
30.已知矩形ABCD 中,AB =2AD =4,E 为 CD 的中点,沿AE 将AED 折起,使DB =O 、H 分别为AE 、AB 的中点.(1)求证:直线OH//面BDE ; (2)求证:面ADE ⊥面ABCE.立体几何大题训练(16)BCAB CD EABCDE OH31.(本小题满分14分)已知直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1,底面ABCD 为直角梯形,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,CD=DD 1=4,AD=AB=2,E 、F 分别为BC 、CD 1中点. (I)求证:EF ∥平面BB 1D 1D ; (Ⅱ)求证:BC ⊥平面BB 1D 1D ; (Ⅲ)求四棱锥F-BB 1D 1D 的体积.32、如图,已知AB ⊥平面ACD ACD ∆,DE//AB,是正三角形,2AD DE AB ==,且F 是CD 的中点。
(I )求证://AF 平面BCE ;(II )求证:平面BCE ⊥平面CDE ;立体几何大题训练(17)33.如图已知平面,αβ,且,,AB PC αβα=⊥,,PD C D β⊥是垂足.AB C DEA 1B 1C 1FD 1第31题图(Ⅰ)求证:AB ⊥平面PCD ;(Ⅱ)若1,PC PD CD ===,试判断平面α与平面β的位置关系,并证明你的结论.34.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长和侧棱长均为1,1160,BAD BAA DAA ∠=∠=∠=1O 为11A C 中点.(I )求证:11//.AO C BD 平面;(II )求证:1BD AC ⊥; (III )求四棱柱1111ABCD A B C D -的体积.立体几何大题训练(18)35.如图,正三棱柱111C B A ABC -中,已知1AB AA =,M 为1CC 的中点.C 1B A(Ⅰ)求证:1BM AB ⊥;(Ⅱ)试在棱AC 上确定一点N ,使得1//AB 平面BMN .36.正三棱柱111A B C ABC -中,点D 是BC 的中点,12BC BB =.设11B D BC F =.(Ⅰ)求证:1A C ∥平面1AB D ;(Ⅱ)求证:1BC ⊥平面1AB D .答案与评分标准1.证明(1)取AB 的中点M ,连FM ,MC ,∵ F 、M 分别是BE 、BA 的中点,ABC A 1C 1B 1M∴ FM ∥EA ,FM=12EA . ∵ EA 、CD 都垂直于平面ABC ,∴ CD ∥EA ,∴ CD ∥FM .………………3分 又 DC=a ,∴FM=DC .∴四边形FMCD 是平行四边形,∴ FD ∥MC .即FD ∥平面ABC .……………7分 (2)∵M 是AB 的中点,△ABC 是正三角形, ∴CM ⊥AB ,又CM ⊥AE ,∴CM ⊥面EAB ,CM ⊥AF ,FD ⊥AF ,………………………………11分 又F 是BE 的中点,EA=AB ,∴AF ⊥EB . 即由AF ⊥FD ,AF ⊥EB ,FD ∩EB =F ,可得AF ⊥平面EDB .……………………………………………………14分 2. (1)取PD 的中点E ,连接AE 、EN∵EN 平行且等于12DC ,而12DC 平行且等于AM ∴AMNE 为平行四边形MN ∥AE ∴MN ∥平面PAD(2)∵PA ⊥平面ABCD ∴CD ⊥PA 又∵ABCD 为矩形 ∴CD ⊥AD, ∴CD ⊥AE ,AE ∥MN ,MN ⊥CD ∵AD ⊥DC ,PD ⊥DC ∴∠ADP=45°, 又E 是斜边的PD 的中点∴AE ⊥PD , ∴MN ⊥PD ∴MN ⊥CD ,∴MH ⊥平面PCD. 3、证明:(1)∵E,F 分别是AB BD ,的中点.∴EF 是△ABD 的中位线,∴E F ∥AD ,∵E F ∥⊄面ACD ,AD ⊂面ACD ,∴直线E F ∥面ACD ; (2)∵AD ⊥BD ,E F ∥AD ,∴E F ⊥BD ,∵CB=CD ,F 是BD的中点,∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F,∴BD ⊥面EFC , ∵B D ⊂面BCD ,∴面EFC ⊥面BCD4、(1)证明∵AB =AC ,D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ,∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴AD ⊥CC 1(2)证明延长B 1A 1与BM 交于N ,连结C 1N∵AM =MA 1,∴NA 1=A 1B 1∵A 1B 1=A 1C 1,∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1 ∴C 1N ⊥C 1B 1∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ,∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C(3)解结论是肯定的,充分性已由(2)证明,下面证必要性过M 作ME ⊥BC 1于E ,∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ,又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ∥AD ,∴M 、E 、D 、A 共面 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ,∴AM ∥DE ∵CC 1⊥AM ,∴DE ∥CC 1∵D 是BC 的中点,∴E 是BC 1的中点∴AM =DE =21211=CC AA 1,∴AM =MA 15.证明:(1)取CD 的中点记为E ,连NE ,AE . 由N ,E 分别为CD 1与CD 的中点可得NE ∥D 1D 且NE=12D 1D , ………………………………2分 又AM ∥D 1D 且AM=12D 1D ………………………………4分所以AM ∥EN 且AM=EN ,即四边形AMNE 为平行四边形 所以MN ∥AE , ………………………………6分 又AE ⊂面ABCD,所以MN ∥面ABCD ……8分(2)由AG =DE ,90BAG ADE ∠=∠=︒,DA =AB可得EDA ∆与GAB ∆全等 ……………………………10分所以ABG DAE ∠=∠, ……………………………………………………………11分 又90DAE AED AED BAF ∠+∠=︒∠=∠,,所以90BAF ABG ∠+∠=︒,所以AE BG ⊥, ………………………………………………12分 又1BB AE ⊥,所以1AE B BG ⊥面, ……………………………………………………13分 又MN ∥AE ,所以MN ⊥平面B 1BG ……………………………………………15分 6.(1)证明:连结BD .在长方体1AC 中,对角线11//BD B D . 又E 、F 为棱AD 、AB 的中点,//EF BD ∴. 11//EF B D ∴.又B 1D 1⊂≠平面11CB D ,EF ⊄平面11CB D ,∴EF ∥平面CB 1D 1. (2)在长方体1AC 中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,而B 1D 1⊂≠平面A 1B 1C 1D 1,∴AA 1⊥B 1D 1.又在正方形A 1B 1C 1D 1中,A 1C 1⊥B 1D 1,∴B 1D 1⊥平面CAA 1C 1.又B 1D 1⊂≠平面CB 1D 1,∴平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.7、证明:(1)在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,取A 1B 1的中点F 1, 连接A 1D ,C 1F 1,CF 1,因为AB=4, CD=2,且AB//CD , 所以CDA 1F 1,A 1F 1CD 为平行四边形,所以CF 1//A 1D , 又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点,所以EE 1//A 1D ,所以CF 1//EE 1,又因为1EE ⊄平面FCC 1,1CF ⊂平面FCC 1,所以直线EE 1//平面FCC 1.(2)连接AC,在直棱柱中,CC 1⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, 所以CC 1⊥AC,因为底面ABCD 为等腰梯形,AB=4, BC=2, F 是棱AB 的中点,所以CF=CB=BF ,△BCF 为正三角形,60BCF ∠=︒,△ACF 为等腰三角形,且30ACF ∠=︒所以AC ⊥BC, 又因为BC 与CC 1都在平面BB 1C 1C 内且交于点C, 所以AC ⊥平面BB 1C 1C,而AC ⊂平面D 1AC, 所以平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.8.(1)证明:∵底面ABCD 是菱形,∠ABC=60°,∴AB=AD=AC=a.在△PAB 中, ∵PA 2+AB 2=2a 2=PB 2,∴PA ⊥AB ,同时PA ⊥AD ,又AB AD=A , EABCFE 1A 1B 1C 1D 1DF 1EA BCFE 1 A 1B 1C 1D 1D∴PA ⊥平面ABCD.……………………4分 (2)作EG//PA 交AD 于G ,连接GF.………………6分则,FCBFED PE GD AG == ∴GF//AB.……………………8分 又PA AB=A ,EG GF=G ,∴平面EFG//平面PAB ,……………………9分 又EF ⊂平面EFG ,∴EF//平面PAB.……………………10分 9.(1)在△PAC 中,∵PA=3,AC=4,PC=5,∴222PC AC PA =+,∴AC PA ⊥;又AB=4,PB=5,∴在△PAB 中, 同理可得 AB PA ⊥∵A AB AC = ,∴ABC PA 平面⊥ ∵⊂BC 平面ABC ,∴PA ⊥BC.(2) 如图所示取PC 的中点G ,连结AG ,BG ,∵PF:FC=3:1,∴F 为GC 的中点 又D 、E 分别为BC 、AC 的中点,∴AG ∥EF ,BG ∥FD ,又AG∩GB=G ,EF∩FD=F ∴面ABG ∥面DEF 即PC 上的中点G 为所求的点。