二次函数交点式
【问题提出】已知二次函数经过三点13,24A ⎛⎫
⎪⎝⎭
，(1,3)B -，(2,3)C ，求解析式.
法：由,B C 的纵坐标相等知，1
1x =-，22x =是方程()30f x -=的两个根，可设
零点式()3(1)(2)f x a x x -=+-.
把A 代入，得1a =，从而()(1)(2)3f x x x =+-+，化简即得2
()1f x x x =-+.
【探究拓展】
探究1：如图，已知二次函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为实数，0≠a ）的图象过点)2,(t C ，且与x 轴交于A
，B 两点，若BC AC ⊥，则a 的值
为 .
探究2：设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c <b <1)，f (1)＝0，方程f (x )＋1＝0有实根．
（1）证明：－3<c ≤－1且b ≥0；
（2）若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负并加以证明．
解： (1) 证明：f (1)＝0⇒1＋2b ＋c ＝0⇒b ＝－c ＋1
2
.又c <b <1，故c <－
c ＋12<1⇒－3<c <－1
3.方程f (x )＋1＝0有实根，即x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根，故Δ＝4b 2－4(c ＋1)≥0，即(c ＋1)2－4(c ＋1)≥0⇒c ≥3或c ≤－1.又c <b <1，得－3<c ≤－1，由b ＝－c ＋12
知b ≥0.
(2) f (x )＝x 2＋2bx ＋c ＝x 2－(c ＋1)x ＋c ＝(x －c )(x －1)，f (m )＝－1<0， ∴c <m <1，∴c －4<m －4<－3<c ，∴f (m －4)＝(m －4－c )(m －4－1)>0， ∴f (m －4)的符号为正．
变式1：已知函数c bx ax x f ++=2)(，且c b a >>，0=++c b a ，则以下四个命题中真命题的序号为__________.
（1）()1,0∈∀x ，都有0)(>x f ；（2）()1,0∈∀x ，都有0)(<x f ； （3）()1,00∈∃x ，使得0)(0=x f ；（4）()1,00∈∃x ，使得0)(0>x f .
变式2：已知函数c bx ax x f ++=2)(,且c b a >>,0=++c b a ，集合{}0)(<=m f m A ,则以下四个命题真命题的序号为__________.
（1）A m ∈∀，都有0)3(>+m f ；（2）A m ∈∀，都有0)3(<+m f ； （3）A m ∈∃0，使得0)3(0=+m f ；（4）A m ∈∃0，使得0)3(0<+m f .
探究3：设二次函数2
()(0)f x ax
bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足
121
0x x a
<<<
. （1）当1
(0,)x x ∈时，证明：1
()x f x x <<；
（2）设函数()f x 的图象关于直线0
x x =对称，证明：10
2
x x
<
.
【答案】（1）欲证1
()x f x x <<，只须证1
0()f x x x
x <-<-，
即1
210()()a x
x x x x x <--<-，同除以1()0a x x ->，只须证210x x a
<-<
.
这由已知条件易得成立，故命题得证. （2）欲证10
2
x x
<
，只须证1120
1
022222x x x b x
a a
>-
=--=-
. 由已知条件易得最后一项小于0，故命题得证.
探究4：已知函数cx x b x x f +-+=23)1(2
13
1)(（c b ,为常数）,
（1）若)(x f 在1=x 和3=x 处取得极值，求c b ,的值；
（2）若)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 上单调递增且在()21,x x 上单调递减，满足
112>-x x
求证：)2(22c b b +>；
（3）在（2）的条件下，若1x t <,试比较c bt t ++2与1x 的大小，并加以证明.
解(1)f′(x)=x 2+(b-1)x+c ，
由题意得，1和3是方程x 2+(b-1)x+c=0的两根⎩
⎨⎧=-=⎩
⎨
⎧⨯=+=-∴3
3
31311c b c b 解得 （2）由题意得，当x ∈(-∞，x 1)∪(x 2，+∞)时，f′(x)>0；x ∈(x 1，x 2)时f′，(x)<0，
∴x 1，x 2是方程f′，(x)=x 2+(b-1)x+c 的两根，则x 1+x 2=1-b ，x 1x 2=c ， ∴b 2-2(b+2c)=b 2-2b-4c=(b-1)2-4c-1 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2-1=(x 2-x 1)2-1． ∵x 2-x 1>1，∴(x 2-x 1)2-1>0， ∴b 2>2(b+2c)．
（3）在(2)的条件下，x 2+(b-1)x+c=(x-x 1)(x-x 2)， 即x 2+bx+c=(x-x 1)(x-x 2)+x ，
所以t 2+bt+c-x 1=(t-x 1)(t-x 2)+t-x 1 =(t-x 1)(t+1-x 2)，
∵x 2>1+x 1>1+t ，∴t+1-x 2<0，又t<x 1，∴t-x 1<0，∴(t-x 1)(t+1-x 2)>0，即t 2+bt+c>x 1 .
探究5：（2020年）已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 及一次函数g (x )=－bx ． （1）若a ＞b ＞c ，a +b +c =0．设f (x )，g (x )两图像交于A 、B 两点，当线段AB 在x 轴上的射影为A 1B 1，试求11B A 的取值范围；
（2）对于自然数a ，存在一个以a 为首项系数的整系数二次三项式f （x ），使f （x ）=0有两个小于1的不等正根，求a 的最小值． 答案：（1）(
)3
2,3；（2）5．
提示：（1）依题意，0,≠b a ．因为a ＞b ＞c ，a +b +c =0，所以0,0<>c a ． 设x 1，x 2分别为点A 、B 的横坐标，则
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=-=144)(422
2212
1
1a c a c a ac
c a x x B A ． 因为.2,0,02,
,
0->∴>>+⇒⎩⎨
⎧>=++a
c
a c a
b a
c b a 而
又因为.21
,0,02,
,0-<∴><+⇒⎩⎨⎧<=++a c a c a b c c b a 而
所以()12,314,21
22∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛∴-<<-a c a c a c ．则1
1B A 的取值范围为(
)3
2,3．
（2）设二次三项式为))(()(21x x x x a x f --=，N a ∈． 依题意知2121,10,10x x x x ≠<<<<且．于是0)1(,0)0(>>f f ． 又21212)()(x ax x x x a ax x f ++-=为整系数二次三项式． 所以)1)(1()1(,)0(2121x x a f x ax f --==为正整数，故.1)1(,1)0(≥≥f f 从而.1)1()0(≥⋅f f
另一方面，,412)1()1(,412)1()1(2
222221111=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+≤-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-x x x x x x x x 又21x x ≠，则等号不可能同时成立，所以2
2211216
1)1()1()1()0(a x x x x a f f <--=⋅． 又1)1()0(≥⋅f f ，则162>a ，又N a ∈，则a 的最小值为5．
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。