八年级下数学压轴题1.已知,正方形 ABCD中,∠MAN=45°,∠ MAN绕点 A 顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、 N, AH⊥ MN于点 H.( 1)如图①,当∠MAN 绕点 A 旋转到BM=DN时,请你直接写出AH 与 AB 的数量关系:;(2)如图②,当∠ MAN绕点 A 旋转到 BM≠ DN时,( 1)中发现的 AH与 AB的数量关系还成立吗如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图③,已知∠ MAN=45°, AH⊥ MN于点 H,且 MH=2,NH=3,求 AH的长.(可利用(2)得到的结论)2.如图,△ ABC是等边三角形,点 D 是边 BC上的一点,以AD为边作等边△ ADE,过点C 作 CF∥ DE交 AB 于点 F.( 1)若点 D 是 BC边的中点(如图①),求证: EF=CD;( 2)在( 1)的条件下直接写出△AEF和△ ABC的面积比;(3)若点 D 是 BC边上的任意一点(除 B、C 外如图②),那么( 1)中的结论是否仍然成立若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.3.( 1)如图 1,在正方形 ABCD中, E 是 AB上一点, F 是 AD延长线上一点,且DF=BE.求证: CE=CF;(2)如图 2,在正方形 ABCD中,E 是 AB上一点, G是 AD上一点,如果∠ GCE=45°,请你利用( 1)的结论证明: GE=BE+GD.(3)运用( 1)( 2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图 3,在直角梯形ABCD中, AD∥ BC( BC> AD),∠ B=90°, AB=BC, E 是 AB 上一点,且∠ DCE=45°, BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积.4.如图,正方形 ABCD中,E 为 AB边上一点,过点 D 作 DF⊥ DE,与 BC延长线交于点F.连接EF,与 CD边交于点 G,与对角线 BD交于点 H.(1)若 BF=BD= ,求 BE 的长;(2)若∠ ADE=2∠ BFE,求证: FH=HE+HD.5.如图,将一三角板放在边长为 1 AC上滑动,直角的一边始终经过点的正方形ABCD上,并使它的直角顶点B,另一边与射线DC相交于 Q.P 在对角线探究:设A、P 两点间的距离为x.(1)当点 Q在边 CD上时,线段 PQ与 PB 之间有怎样的数量关系试证明你的猜想;(2)当点 Q在边 CD上时,设四边形 PBCQ的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数关系,并写出函数自变量 x 的取值范围;(3)当点 P 在线段 AC上滑动时,△ PCQ是否可能成为等腰三角形如果可能,指出所有能使△ PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x 值,如果不可能,试说明理由.6. Rt △ ABC与 Rt △ FED是两块全等的含30°、 60°角的三角板,按如图(一)所示拼在一起, CB与 DE重合.(1)求证:四边形 ABFC为平行四边形;(2)取 BC中点 O,将△ ABC绕点 O顺时钟方向旋转到如图(二)中△ A′B′C′位置,直线 B'C' 与 AB、 CF 分别相交于P、 Q两点,猜想OQ、 OP长度的大小关系,并证明你的猜想;( 3)在( 2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形(不要求证明)7.如图,在正方形ABCD中,点 F 在 CD边上,射线AF 交 BD于点 E,交 BC的延长线于点 G.(1)求证:△ ADE≌△ CDE;(2)过点 C 作 CH⊥ CE,交 FG于点 H,求证: FH=GH;(3)设 AD=1,DF=x,试问是否存在 x 的值,使△ ECG为等腰三角形若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由.8.在平行四边形ABCD中,∠ BAD的平分线交直线BC于点 E,交直线DC于点 F.(1)在图 1 中证明 CE=CF;(2)若∠ ABC=90°, G是 EF 的中点(如图 2),直接写出∠ BDG的度数;(3)若∠ ABC=120°, FG∥ CE,FG=CE,分别连接 DB、 DG(如图 3),求∠ BDG的度数.9.如图,已知? ABCD中, DE⊥ BC于点 E, DH⊥ AB于点 H, AF 平分∠ BAD,分别交DC、DE、 DH于点 F、G、 M,且 DE=AD.(1)求证:△ ADG≌△ FDM.(2)猜想 AB与 DG+CE之间有何数量关系,并证明你的猜想.10.如图,在正方形ABCD中, E、 F 分别为 BC、AB 上两点,且B E=BF,过点 B 作 AE的垂线交 AC于点 G,过点 G作 CF的垂线交BC于点 H延长线段AE、 GH交于点 M.(1)求证:∠ BFC=∠ BEA;(2)求证: AM=BG+GM.11.如图所示,把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy 中,使 OA、 OC分别落在x、y 轴的正半轴上,连接AC,且 AC=4,(1)求 AC所在直线的解析式;(2)将纸片 OABC折叠,使点 A 与点 C 重合(折痕为 EF),求折叠后纸片重叠部分的面积.(3)求 EF 所在的直线的函数解析式.12.已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B 点(如图),AE平分∠ BAO,交 x 轴于点 E.(1)求点 B 的坐标;(2)求直线 AE的表达式;(3)过点 B 作 BF⊥ AE,垂足为 F,连接 OF,试判断△ OFB的形状,并求△ OFB的面积.(4)若将已知条件“ AE 平分∠ BAO,交 x 轴于点E”改变为“点 E 是线段OB 上的一个动点(点 E 不与点 O、 B 重合)”,过点 B 作 BF⊥ AE,垂足为F.设 OE=x,BF=y,试求y 与 x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域.13.如图,直线 l 1的解析表达式为:y=﹣ 3x+3 ,且 l 1与 x 轴交于点D,直线 l 2经过点 A,B,直线 l 1, l 2交于点 C.(1)求点 D 的坐标;(2)求直线 l 2的解析表达式;(3)求△ ADC的面积;(4)在直线 l 2上存在异于点 C 的另一点 P,使得△ ADP与△ ADC的面积相等,请直接写出点 P 的坐标.14.如图 1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,长方形OACB的顶点 A、 B 分别在 x 轴与y 轴上,已知OA=6,OB=10.点 D 为y 轴上一点,其坐标为(0, 2),点P 从P 与点 B 重合时点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿线段AC﹣ CB的方向运动,当点停止运动,运动时间为t 秒.(1)当点 P 经过点 C 时,求直线 DP的函数解析式;(2)①求△ OPD的面积 S 关于 t 的函数解析式;②如图②,把长方形沿着OP折叠,点 B 的对应点B′恰好落在AC边上,求点P的坐标.( 3)点 P 在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.15.如图,在平面直角坐标系中,已知O为原点,四边形ABCD为平行四边形, A、B、C 的坐标分别是A(﹣ 5,1), B(﹣ 2, 4),C( 5, 4),点 D在第一象限.(1)写出 D 点的坐标;(2)求经过 B、 D 两点的直线的解析式,并求线段BD的长;( 3)将平行四边形ABCD先向右平移1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少并求出平行四边形ABCD与四边A1B1C1D1重叠部分的面积.16.如图,一次函数的图象与x 轴、 y 轴交于点A、B,以线段 AB为边在第一象限内作等边△ABC,( 1)求△ ABC的面积;( 2)如果在第二象限内有一点P(a,);试用含有a 的代数式表示四边形ABPO的面积,并求出当△ABP的面积与△ ABC的面积相等时 a 的值;( 3)在 x 轴上,是否存在点M,使△ MAB为等腰三角形若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.2018 年 06 月 17 日梧桐听雨的初中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题(共16 小题)1.已知,正方形 ABCD中,∠MAN=45°,∠ MAN绕点 A 顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、 N, AH⊥ MN于点 H.( 1)如图①,当∠MAN绕点 A 旋转到 BM=DN时,请你直接写出AH 与 AB 的数量关系:AH=AB ;(2)如图②,当∠ MAN绕点 A 旋转到 BM≠ DN时,( 1)中发现的 AH与 AB的数量关系还成立吗如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图③,已知∠ MAN=45°, AH⊥ MN于点 H,且 MH=2,NH=3,求 AH的长.(可利用(2)得到的结论)【解答】解:( 1)如图① AH=AB.( 2)数量关系成立.如图②,延长CB至 E,使 BE=DN.∵ ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ D=∠ABE=90°,在 Rt △ AEB和 Rt △AND中,,∴Rt △ AEB≌ Rt △ AND,∴AE=AN,∠ EAB=∠NAD,∵∠DAN+∠BAN=45°,∴∠EAB+∠BAN=45°,∴∠ EAN=45°,∴∠ EAM=∠NAM=45°,在△ AEM和△ ANM中,,∴△ AEM≌△ ANM.∴S△AEM=S△ANM, EM=MN,∵AB、 AH是△ AEM和△ ANM对应边上的高,∴ AB=AH.( 3)如图③分别沿 AM、 AN翻折△ AMH和△ ANH,得到△ ABM和△ AND,∴BM=2,DN=3,∠ B=∠ D=∠BAD=90°.分别延长 BM和 DN交于点 C,得正方形 ABCD,由( 2)可知, AH=AB=BC=CD=AD.设 AH=x,则 MC=x﹣ 2, NC=x﹣ 3,在 Rt △MCN中,由勾股定理,得222 MN=MC+NC∴52=( x﹣ 2)2+( x﹣ 3)2( 6 分)解得 x1=6,x2=﹣ 1.(不符合题意,舍去)∴AH=6.2.如图,△ ABC是等边三角形,点 D 是边 BC上的一点,以AD为边作等边△ ADE,过点C 作 CF∥DE交 AB于点 F.( 1)若点 D 是 BC边的中点(如图①),求证: EF=CD;( 2)在( 1)的条件下直接写出△AEF和△ ABC的面积比;(3)若点 D 是 BC边上的任意一点(除 B、 C 外如图②),那么( 1)中的结论是否仍然成立若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.【解答】(1)证明:∵△ ABC是等边三角形, D 是 BC的中点,∴ AD⊥ BC,且∠ BAD= ∠BAC=30°,∵△ AED是等边三角形,∴AD=AE,∠ ADE=60°,∴∠ EDB=90°﹣∠ ADE=90°﹣ 60°=30°,∵ED∥ CF,∴∠ FCB=∠EDB=30°,∵∠ ACB=60°,∴∠ ACF=∠ ACB﹣∠ FCB=30°,∴∠ ACF=∠BAD=30°,在△ ABD和△ CAF中,,∴△ ABD≌△ CAF(ASA),∴AD=CF,∵ AD=ED,∴ED=CF,又∵ ED∥CF,∴四边形 EDCF是平行四边形,∴EF=CD.( 2)解:△ AEF和△ ABC的面积比为: 1: 4;(易知AF=BF ,延长EF交AD于H,△AEF的面积=? EF? AH= ? CB ? AD= ? ? BC? AD,由此即可证明)(3)解:成立.理由如下:∵ ED∥FC,∴∠ EDB=∠ FCB,∵∠ AFC=∠ B+∠BCF=60° +∠ BCF,∠ BDA=∠ ADE+∠EDB=60° +∠ EDB∴∠ AFC=∠ BDA,在△ ABD和△ CAF中,∴△ ABD≌△ CAF(AAS),∴AD=FC,∵ AD=ED,∴ED=CF,又∵ ED∥CF,∴四边形 EDCF是平行四边形,∴EF=DC.3.( 1)如图 1,在正方形ABCD中,E 是 AB上一点, F 是 AD延长线上一点,且 DF=BE.求证: CE=CF;( 2)如图 2,在正方形ABCD中, E 是 AB上一点, G是 AD上一点,如果∠ GCE=45°,请你利用( 1)的结论证明:GE=BE+GD.( 3)运用( 1)( 2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图 3,在直角梯形ABCD中, AD∥ BC( BC> AD),∠ B=90°, AB=BC,E 是 AB上一点,且∠ DCE=45°, BE=4, DE=10,求直角梯形ABCD的面积.【解答】( 1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠ B=∠ CDF=90°,∵∠ ADC=90°,∴∠FDC=90°.∴∠B=∠FDC,∵ BE=DF,∴△ CBE≌△ CDF(SAS).∴CE=CF.(2)证明:如图 2,延长 AD至 F,使 DF=BE,连接 CF.由( 1)知△ CBE≌△ CDF,∴∠ BCE=∠ DCF.∴∠ BCE+∠ ECD=∠DCF+∠ ECD,即∠ ECF=∠BCD=90°,又∠ GCE=45°,∴∠ GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF,GC=GC,∴△ ECG≌△ FCG.∴ GE=GF,∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.( 3)解:如图3,过 C作 CG⊥ AD,交 AD延长线于G.在直角梯形ABCD中,∵AD∥ BC,∴∠ A=∠B=90°,又∵∠ CGA=90°, AB=BC,∴四形ABCG正方形.∴AG=BC.⋯( 7 分)∵∠ DCE=45°,根据( 1)( 2)可知, ED=BE+DG.⋯( 8 分)∴10=4+DG,即DG=6.AB=x, AE=x 4, AD=x 6,在Rt △AED中,222222∵ DE=AD+AE,即 10 =( x 6) +( x 4).解个方程,得:x=12 或 x= 2(舍去).⋯( 9 分)∴ AB=12.∴ S 梯形ABCD=( AD+BC) ? AB= ×( 6+12)× 12=108.即梯形 ABCD的面108.⋯( 10 分)4.如,正方形 ABCD中,E AB上一点,点 D 作 DF⊥ DE,与 BC延交于点F.接EF,与 CD交于点 G,与角 BD交于点 H.( 1)若 BF=BD= ,求 BE的;( 2)若∠ ADE=2∠BFE,求: FH=HE+HD.【解答】( 1)解:∵四边形ABCD正方形,∴∠ BCD=90°, BC=CD,222∴ Rt △ BCD中, BC+CD=BD,222即 BC=()﹣(BC),∴ BC=AB=1,∵ DF⊥ DE,∴∠ ADE+∠EDC=90°=∠ EDC+∠ CDF,∴∠ ADE=∠ CDF,在△ ADE和△ CDF中,∵,∴△ ADE≌△ CDF(ASA),∴ AE=CF=BF﹣ BC=﹣1,∴ BE=AB﹣ AE=1﹣(﹣1)=2﹣;(2)证明:在 FE 上截取一段 FI ,使得 FI=EH,∵△ ADE≌△ CDF,∴ DE=DF,∴△ DEF为等腰直角三角形,∴∠DEF=∠DFE=45°=∠ DBC,∵∠ DHE=∠ BHF,∴∠ EDH=∠ BFH(三角形的内角和定理),在△ DEH和△ DFI 中,∵,∴△ DEH≌△ DFI (SAS),∴DH=DI,又∵∠ HDE=∠ BFE,∠ ADE=2∠ BFE,∴∠ HDE=∠ BFE= ∠ ADE,∵∠ HDE+∠ADE=45°,∴∠ HDE=15°,∴∠ DHI=∠ DEH+∠HDE=60°,即△ DHI 为等边三角形,∴DH=HI,∴FH=FI+HI=HE+HD.5.如图,将一三角板放在边长为 1 的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P 在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于 Q.探究:设A、 P 两点间的距离为x.(1)当点 Q在边 CD上时,线段 PQ与 PB 之间有怎样的数量关系试证明你的猜想;(2)当点 Q在边 CD上时,设四边形 PBCQ的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数关系,并写出函数自变量 x 的取值范围;(3)当点 P 在线段 AC上滑动时,△ PCQ是否可能成为等腰三角形如果可能,指出所有能使△ PCQ成为等腰三角形的点 Q的位置.并求出相应的 x 值,如果不可能,试说明理由.【解答】解:( 1)PQ=PB,(1 分)过P 点作 MN∥ BC分别交 AB、 DC于点 M、 N,在正方形ABCD中,AC为对角线,∴ AM=PM,又∵ AB=MN,∴ MB=PN,∵∠ BPQ=90°,∴∠ BPM+∠NPQ=90°;又∵∠ MBP+∠BPM=90°,∴∠ MBP=∠ NPQ,在 Rt △ MBP≌ Rt △NPQ中,∵∴Rt △ MBP≌ Rt △ NPQ,( 2 分)∴PB=PQ.(2)∵ S 四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ,∵AP=x,∴ AM= x,∴CQ=CD﹣ 2NQ=1﹣ x,又∵ S△PBC= BC? BM= ? 1? ( 1﹣x) =﹣x,S△PCQ= CQ? PN= ( 1﹣x) ? ( 1﹣x),=﹣+,∴ S 四边形PBCQ=﹣x+1.( 0≤x≤).(4分)( 3)△ PCQ可能成为等腰三角形.①当点 P 与点 A 重合时,点Q与点 D重合,PQ=QC,此时, x=0.( 5 分)②当点 Q在 DC的延长线上,且CP=CQ时,( 6 分)有: QN=AM=PM= x, CP=﹣x,CN=CP=1﹣x, CQ=QN﹣CN=x﹣( 1﹣x)=x﹣1,∴当﹣ x=x﹣ 1 时, x=1.(7 分).6. Rt △ABC与 Rt △ FED是两块全等的含30°、 60°角的三角板,按如图(一)所示拼在一起, CB与 DE重合.(1)求证:四边形 ABFC为平行四边形;(2)取 BC中点 O,将△ ABC绕点 O顺时钟方向旋转到如图(二)中△ A′B′C′位置,直线 B'C' 与 AB、CF分别相交于 P、Q两点,猜想 OQ、 OP长度的大小关系,并证明你的猜想;( 3)在( 2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形(不要求证明)【解答】( 1)证明:∵△ABC≌△ FCB,∴AB=CF, AC=BF.∴四边形 ABFC为平行四边形.(2)解: OP=OQ,理由如下:∵OC=OB,∠ COQ=∠ BOP,∠ OCQ=∠ PBO,∴△ COQ≌△ BOP.∴OQ=OP.(3)解: 90°.理由:∵ OP=OQ, OC=OB,∴四边形 PCQB为平行四边形,∵ BC⊥ PQ,∴四边形 PCQB为菱形.7.如图,在正方形ABCD中,点 F 在 CD边上,射线 AF 交 BD于点 E,交 BC的延长线于点G.(1)求证:△ ADE≌△ CDE;(2)过点 C 作 CH⊥ CE,交 FG于点 H,求证: FH=GH;( 3)设 AD=1, DF=x,试问是否存在x 的值,使△ ECG为等腰三角形若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由.【解答】( 1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴DA=DC,∠ 1=∠2=45°, DE=DE,∴△ ADE≌△ CDE.(2)证明:∵△ ADE≌△ CDE,∴∠ 3=∠4,∵ CH⊥ CE,∴∠ 4+∠5=90°,又∵∠ 6+∠5=90°,∴∠ 4=∠6=∠ 3,∵AD∥ BG,∴∠ G=∠3,∴∠ G=∠6,∴ CH=GH,又∵∠4+∠5=∠G+∠7=90°,∴∠ 5=∠7,∴ CH=FH,∴ FH=GH.( 3)解:存在符合条件的x 值此时,CE=CG,∵∠ ECG>90°,要使△ECG为等腰三角形,必须∴∠ G=∠8,又∵∠ G=∠ 4,∴∠ 8=∠4,∴∠ 9=2∠ 4=2∠ 3,∴∠ 9+∠3=2∠ 3+∠3=90°,∴∠ 3=30°,∴x=DF=1×tan30 °= .8.在 ? ABCD中,∠ BAD的平分线交直线BC于点 E,交直线DC于点 F.(1)在图 1 中证明 CE=CF;(2)若∠ ABC=90°, G是 EF 的中点(如图 2),直接写出∠ BDG的度数;(3)若∠ ABC=120°, FG∥CE, FG=CE,分别连接 DB、DG(如图 3),求∠ BDG的度数.【解答】( 1)证明:如图1,∵AF 平分∠ BAD,∴∠ BAF=∠ DAF,∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AD∥ BC, AB∥ CD,∴∠ DAF=∠ CEF,∠ BAF=∠F,∴∠ CEF=∠ F.∴CE=CF.( 2)解:连接GC、 BG,∵四边形 ABCD为平行四边形,∠ ABC=90°,∴四边形 ABCD为矩形,∵AF 平分∠ BAD,∴∠ DAF=∠BAF=45°,∵∠ DCB=90°, DF∥ AB,∴∠ DFA=45°,∠ ECF=90°∴△ ECF为等腰直角三角形,∵G为 EF中点,∴EG=CG=FG, CG⊥EF,∵△ ABE为等腰直角三角形,AB=DC,∴BE=DC,∵∠ CEF=∠GCF=45°,∴∠ BEG=∠DCG=135°在△ BEG与△ DCG中,∵,∴△ BEG≌△ DCG,∴BG=DG,∵ CG⊥ EF,∴∠ DGC+∠DGA=90°,又∵∠ DGC=∠ BGA,∴∠ BGA+∠DGA=90°,∴△ DGB为等腰直角三角形,∴∠ BDG=45°.(3)解:延长 AB、 FG交于 H,连接 HD.∵ AD∥ GF, AB∥ DF,∴四边形 AHFD为平行四边形∵∠ ABC=120°, AF 平分∠BAD∴∠ DAF=30°,∠ ADC=120°,∠ DFA=30°∴△ DAF为等腰三角形∴AD=DF,∴CE=CF,∴平行四边形AHFD为菱形∴△ ADH,△ DHF为全等的等边三角形∴DH=DF,∠ BHD=∠GFD=60°∵ FG=CE, CE=CF,CF=BH,∴BH=GF在△ BHD与△ GFD中,∵,∴△ BHD≌△ GFD,∴∠ BDH=∠ GDF∴∠ BDG=∠ BDH+∠HDG=∠ GDF+∠HDG=60°9.如图,已知? ABCD中, DE⊥ BC于点 E, DH⊥AB 于点 H, AF 平分∠ BAD,分别交DC、DE、 DH于点 F、 G、M,且 DE=AD.(1)求证:△ ADG≌△ FDM.(2)猜想 AB 与 DG+CE之间有何数量关系,并证明你的猜想.【解答】证明:( 1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥ CD, AD∥ BC,∴∠ BAF=∠ DFA,∵ AF 平分∠ BAD,∴∠ DAF=∠ DFA,∴AD=FD,∵DE⊥ BC, DH⊥ AB,∴∠ ADG=∠FDM=90°,在△ ADG和△ FDM中,,∴△ ADG≌△ FDM(ASA).(2) AB=DG+EC.证明:延长GD至点 N,使 DN=CE,连接 AN,∵DE⊥ BC, AD∥ BC,∴∠ADN=∠DEC=90°,在△ ADN和△ DEC中,,∴△ ADN≌△ DEC(SAS),∴∠ NAD=∠ CDE,AN=DC,∵∠ NAG=∠ NAD+∠DAG,∠ NGA=∠ CDE+∠ DFA,∴∠ NAG=∠ NGA,∴AN=GN=DG+CE=DC,∵四边形 ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∴AB=DG+EC.10.如图,在正方形ABCD中, E、 F 分别为 BC、AB 上两点,且B E=BF,过点 B 作 AE的垂线交 AC于点 G,过点 G作 CF 的垂线交BC于点 H 延长线段AE、GH交于点 M.(1)求证:∠ BFC=∠ BEA;(2)求证: AM=BG+GM.【解答】证明:( 1)在正方形ABCD中, AB=BC,∠ ABC=90°,在△ ABE和△ CBF中,,∴△ ABE≌△ CBF(SAS),∴∠ BFC=∠ BEA;(2)连接 DG,在△ ABG和△ ADG中,,∴△ ABG≌△ ADG(SAS),∴BG=DG,∠ 2=∠ 3,∵ BG⊥ AE,∴∠ BAE+∠2=90°,∵∠ BAD=∠ BAE+∠4=90°,∴∠ 2=∠3=∠ 4,∵ GM⊥ CF,∴∠ BCF+∠1=90°,又∠ BCF+∠BFC=90°,∴∠ 1=∠BFC=∠ 2,∴∠ 1=∠3,在△ ADG中,∠ DGC=∠ 3+45°,∴∠ DGC也是△ CGH的外角,∴D、 G、M三点共线,∵∠ 3=∠4(已证),∴AM=DM,∵DM=DG+GM=BG+GM,∴ AM=BG+GM.11.如图所示,把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy 中,使 OA、 OC分别落在 x、y 轴的正半轴上,连接AC,且 AC=4,(1)求 AC所在直线的解析式;(2)将纸片 OABC折叠,使点 A 与点 C 重合(折痕为 EF),求折叠后纸片重叠部分的面积.(3)求 EF 所在的直线的函数解析式.【解答】解:( 1)∵=,∴可设 OC=x,则 OA=2x,在 Rt △AOC中,由勾股定理可得222 OC+OA=AC,∴x2+( 2x)2=( 4 )2,解得 x=4( x= ﹣4 舍去),∴OC=4,OA=8,∴A( 8,0), C( 0, 4),设直线 AC解析式为 y=kx+b ,∴,解得,∴直线 AC解析式为y=﹣x+4;(2)由折叠的性质可知 AE=CE,设 AE=CE=y,则 OE=8﹣ y,在 Rt △ OCE中,由勾股定理可得222 OE+OC=CE,∴( 8﹣ y)2+42=y2,解得 y=5,∴ AE=CE=5,∵∠ AEF=∠ CEF,∠ CFE=∠AEF,∴∠ CFE=∠ CEF,∴ CE=CF=5,∴ S△CEF=CF? OC= × 5× 4=10,即重叠部分的面积为10;(3)由( 2)可知 OE=3,CF=5,∴ E( 3,0), F( 5, 4),设直线 EF 的解析式为 y=k′x+b′,∴,解得,∴直线 EF 的解析式为y=2x﹣ 6.12.已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B 点(如图),AE平分∠ BAO,交 x 轴于点 E.(1)求点 B 的坐标;(2)求直线 AE的表达式;(3)过点 B 作 BF⊥ AE,垂足为 F,连接 OF,试判断△ OFB的形状,并求△ OFB的面积.(4)若将已知条件“ AE 平分∠ BAO,交 x 轴于点 E”改变为“点 E 是线段 OB上的一个动点(点 E 不与点 O、 B 重合)”,过点 B 作 BF⊥AE,垂足为F.设 OE=x,BF=y,试求y 与 x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域.【解答】解:( 1)对于 y=﹣x+6,当x=0 时, y=6;当 y=0 时, x=8,∴OA=6,OB=8,在Rt △AOB中,根据勾股定理得: AB=10,则 A( 0, 6), B(8, 0);( 2)过点 E 作 EG⊥ AB,垂足为 G(如图 1 所示),∵ AE 平分∠ BAO,EO⊥ AO, EG⊥ AG,∴ EG=OE,在Rt △AOE和 Rt△ AGE中,,∴Rt △ AOE≌ Rt △ AGE( HL),∴AG=AO,设OE=EG=x,则有 BE=8﹣ x, BG=AB﹣AG=10﹣ 6=4,在Rt △ BEG中, EG=x, BG=4, BE=8﹣x,根据勾股定理得:222x+4 =( 8﹣ x),解得: x=3,∴ E( 3,0),设直线 AE的表达式为y=kx+b ( k≠ 0),将A( 0,6), E(3, 0)代入 y=kx+b 得:,解得:则直线,AE的表达式为y=﹣2x+6;(3)延长 BF 交 y 轴于点 K(如图 2 所示),∵ AE平分∠ BAO,∴∠ KAF=∠ BAF,又BF⊥ AE,∴∠ AFK=∠AFB=90°,在△ AFK和△ AFB中,∵,∴△ AFK≌△ AFB,∴FK=FB,即F 为KB 的中点,又∵△ BOK为直角三角形,∴OF= BK=BF,∴△ OFB为等腰三角形,过点 F 作 FH⊥ OB,垂足为 H(如图 2 所示),∵OF=BF, FH⊥ OB,∴OH=BH=4,∴F 点的横坐标为 4,设F( 4, y),将 F( 4, y)代入 y= ﹣2x+6,得: y= ﹣ 2,∴ FH=| ﹣2|=2 ,则 S△OBF= OB? FH= ×8× 2=8;(4)在 Rt △ AOE中, OE=x, OA=6,根据勾股定理得:AE==,又BE=OB﹣ OE=8﹣x, S△ABE= AE? BF= BE? AO(等积法),∴ BF==(0<x<8),又BF=y,则 y=(0<x<8).13.如图,直线 l 1的解析表达式为:y=﹣ 3x+3 ,且 l 1与 x 轴交于点D,直线 l 2经过点 A,B,直线 l 1, l 2交于点 C.(1)求点 D的坐标;(2)求直线 l 2的解析表达式;(3)求△ ADC的面积;(4)在直线 l 2上存在异于点 C 的另一点 P,使得△ ADP与△ ADC的面积相等,请直接写出点 P 的坐标.【解答】解:( 1)由 y=﹣3x+3,令 y=0,得﹣ 3x+3=0,∴x=1,∴D( 1,0);( 2)设直线l 2的解析表达式为y=kx+b ,由图象知: x=4, y=0; x=3,,代入表达式y=kx+b ,∴,∴,∴直线 l 2的解析表达式为;( 3)由,解得,∴ C( 2,﹣ 3),∵ AD=3,∴ S△ADC=× 3×|﹣3|=;( 4)△ ADP与△ ADC底边都是A D,面积相等所以高相等,△ADC高就是点 C 到直线 AD 的距离,即 C 纵坐标的绝对值=| ﹣ 3|=3 ,则 P 到 AD距离 =3,∴ P 纵坐标的绝对值=3,点 P 不是点 C,∴点 P 纵坐标是3,∵ y=﹣ 6, y=3,∴﹣ 6=3x=6,所以 P(6, 3).14.如图 1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,长方形OACB的顶点 A、 B 分别在 x 轴与 y 轴上,已知OA=6, OB=10.点 D 为 y 轴上一点,其坐标为(0, 2),点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿线段AC﹣ CB的方向运动,当点 P 与点 B 重合时停止运动,运动时间为t 秒.( 1)当点 P 经过点 C 时,求直线DP的函数解析式;( 2)①求△ OPD的面积 S关于 t 的函数解析式;②如图②,把长方形沿着OP折叠,点 B 的对应点 B′恰好落在AC边上,求点 P 的坐标.( 3)点 P 在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:( 1)∵ OA=6,OB=10,四边形OACB为长方形,∴C( 6,10).设此时直线DP解析式为 y=kx+b ,把( 0,2), C( 6, 10)分别代入,得,解得则此时直线DP解析式为 y= x+2;( 2)①当点P 在线段 AC上时, OD=2,高为 6, S=6;× 2×( 16﹣ 2t )=﹣ 2t+16 ;当点 P 在线段 BC上时, OD=2,高为 6+10﹣ 2t=16 ﹣ 2t ,S=②设 P(m, 10),则 PB=PB′=m,如图2,∵OB′=OB=10, OA=6,∴AB′==8,∴B′C=10﹣ 8=2,∵ PC=6﹣m,∴m2=22+( 6﹣ m)2,解得 m=则此时点 P 的坐标是(, 10);( 3)存在,理由为:若△ BDP为等腰三角形,分三种情况考虑:如图3,①当 BD=BP1=OB﹣ OD=10﹣ 2=8,在Rt △ BCP1中, BP1=8, BC=6,根据勾股定理得: CP1==2,∴ AP1=10﹣2,即 P1( 6, 10﹣ 2);②当 BP2=DP2时,此时 P2( 6, 6);3③当 DB=DP=8时,在Rt △ DEP3中, DE=6,根据勾股定理得:P E==2,3∴ AP3=AE+EP3=2+2,即 P3(6, 2+2),综上,满足题意的P 坐标为( 6, 6)或( 6, 2+2)或( 6, 10﹣ 2).15.如图,在平面直角坐标系中,已知O为原点,四边形ABCD为平行四边形,A、 B、C 的坐标分别是A(﹣ 5, 1), B(﹣ 2,4), C( 5, 4),点 D 在第一象限.( 1)写出 D 点的坐标;(2)求经过 B、D 两点的直线的解析式,并求线段BD的长;(3)将平行四边形 ABCD先向右平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度所得的四边形 A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少并求出平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积.【解答】解:( 1)∵ B(﹣ 2, 4), C( 5, 4),∴BC=5﹣(﹣ 2)=5+2=7,∵ A(﹣ 5, 1),∴点 D 的横坐标为﹣ 5+7=2,∴点 D 的坐标为( 2, 1);( 2)设直线 BD的解析式为 y=kx+b ,将 B(﹣ 2, 4)、D( 2, 1)代入得:,解得,∴经过 B、 D两点的直线的解析式为y=﹣x+,过 B 点作 AD的垂线,垂足为E,则 BE=4﹣ 1=3,DE=2﹣(﹣ 2) =2+2=4,在 Rt △BDE中, BD===5;( 3)∵ ? ABCD向右平移1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,∴A1(﹣ 4, 0), B1(﹣ 1, 3),C1( 6, 3)D1( 3,0),∴重叠部分的底边长 7﹣ 1=6,高为 3﹣1=2,∴重叠部分的面积S=6× 2=12.16.如图,一次函数的图象与 x 轴、 y 轴交于点 A、B,以线段 AB为边在第一象限内作等边△ ABC,( 1)求△ ABC的面积;( 2)如果在第二象限内有一点P( a,);试用含有 a 的代数式表示四边形 ABPO的面积,并求出当△ABP的面积与△ ABC的面积相等时 a 的值;(3)在 x 轴上,是否存在点 M,使△ MAB为等腰三角形若存在,请直接写出点 M的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:( 1)分别令 y=0 和 x=0,得一次函数y=x+1 的图象与x 轴.y 轴的交点坐标分别是A(,0),B(0,1),即OA=,OB=1,∴ AB==2∵△ ABC为等边三角形,△ ABC∴ S =;( 2)如图 1, S =, S =, S = |a| ? OB=﹣.△ AOB△ AOP△BOP∴ S 四边形ABPO=S△AOB+S△BOP=,而S△ABP=S 四边形ABPO﹣ S△APO,∴当 S△ABP=S△ABC时,=,解得 a=﹣;。