3．如图 1，△ ABC 中，∠ ABC＝∠ BAC，D 是 BC 延长线上一动点，连接 AD，AE 平分∠ CAD 交 CD 于点 E，过点 E 作 EH⊥AB，垂足为点 H.直线 EH 与直线 AC 相交于点 F.设∠ AEH＝
，∠ ADC＝ .
（1）求证：∠ EFC＝∠ FEC； （2）①若∠ B＝30°，∠ CAD＝50°，则 ＝________， ＝________； ②试探究 与 的关系，并说明理由； （3）若将“D 是 BC 延长线上一动点”改为“D 是 CB 延长线上一动点”，其它条件不变，请在 图 2 中补全图形，并直接写出 与 的关系. 【答案】 （1）证明：∵ ∠ ABC＝∠ BAC,EH⊥AB. ∴ ∠ EFC=∠ AFH=90°－∠ BAC,∠ FEC=90°－∠ ABC, ∴ ∠ EFC＝∠ FEC.
【答案】 （1）90° （2）解：如图，分别过点 E，F 作 EM∥ AB，FN∥ AB
∴ EM∥ AB∥ FN ∴ ∠ B=∠ BEM=30°，∠ MEF=∠ EFN 又∵ AB∥ CD，AB∥ FN ∴ CD∥ FN ∴ ∠ D+∠ DFN=180° 又∵ ∠ D =120° ∴ ∠ DFN=60° ∴ ∠ BEF=∠ MEF+30°，∠ EFD=∠ EFN+60° ∴ ∠ EFD=∠ MEF +60° ∴ ∠ EFD=∠ BEF+30° （3）解：如图，过点 F 作 FH∥ EP
，
∴
.
∴
即
.
∴
.
【解析】【解答】解：(2)①∵ ∠ CAD=50°,AE 平分∠ CAD, ∴ ∠ =∠ AFH－∠ EAC=90°－∠ BAC－∠ EAC=90°－30°－25°=35°. ∵ ∠ ACB=∠ ABC+∠ BAC=60°,∠ CAD=50°, ∴ ∠ =180°－∠ ACB－∠ CAD=180°－60°－50°=70°. 故答案为:35°,70°. 【分析】(1)利用等角的余角相等的性质证明即可.(2)①利用外角定理和角平分线的性质求 解即可;②分别用∠ 和∠ 表示出∠ AEC 即可解.(3)画出图形,将所有的角度集中在△ CEF 的内角和上,列出等式求解即可.
4．如图 ，已知 直线交于点.
， 在 的右侧， 平分
， 平分
， ， 所在
（1）求
的度数.
（2）若
，求
的度数(用含 的代数式表示).
（3）将线段 沿 方向平移，使得点 在点 的右侧，其他条件不变，在图 中画出平
2． 综合题
（1）如图，已知点 C 在线段 AB 上，且 AC=6cm，BC=4cm，点 M、N 分别是 AC、BC 的中 点，求线段 MN 的长度．
（2）对于（1）问，如果我们这样叙述：“已知点 C 在直线 AB 上，且 AC=6cm，BC=4cm， 点 M、N 分别是 AC，BC 的中点，求线段 MN 的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结 果；如果没有，说明理由． 【答案】 （1）解：∵ AC=6cm，且 M 是 AC 的中点，
∴ MC= AC= 6=3cm， 同理：CN=2cm， ∴ MN=MC+CN=3cm+2cm=5cm， ∴ 线 上，由（1）得 MN=5cm， 当 C 在线段 AB 的延长线上时，
∵ AC=6cm，且 M 是 AC 的中点
∴ MC= AC= ×6=3cm， 同理：CN=2cm， ∴ MN=MC﹣CN=3cm﹣2cm=1cm， ∴ 当 C 在直线 AB 上时，线段 MN 的长度是 5cm 或 1cm． 【解析】【分析】（1）根据线段的中点定义，由 M 是 AC 的中点，求出 MC、CN 的值， 得到 MN=MC+CN 的值；（2）当点 C 在线段 AB 上，由（1）得 MN 的值；当 C 在线段 AB 的延长线上时，再由 M 是 AC 的中点，求出 MC、CN 的值，得到 MN=MC﹣CN 的值.
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．如图下图所示,已知 AB//CD, ∠ B=30°，∠ D=120°;
（1）若∠ E=60°，则∠ F=________; （2）请探索∠ E 与∠ F 之间满足的数量关系?说明理由. （3）如下图所示,已知 EP 平分∠ BEF,FG 平分∠ EFD,反向延长 FG 交 EP 于点 P,求∠ P 的度数;
（ 2 ） 35° ； 70° ； 解 ： ②
, 又∵
∴
.∴
（3）解：图形如下:
, 理 由 如 下 : 由 (1) 可 知 : ,
.
∵ ∠ ABC＝∠ BAC,∠ BHE=90°－∠ ABC,∠ F=90°－∠ BAC，
∴
.
又∵
，
∴ 在△ CEF 中有:∠ ECF+2∠ CEF=180°，
即
.
.
∵ 2∠ EAC=∠ DAC,
由（2）知，∠ EFD=∠ BEF+30° 设∠ BEF=2x°，则∠ EFD=（2x+30）° ∵ EP 平分∠ BEF，GF 平分∠ EFD
∴ ∠ PEF= ∠ BEF=x°，∠ EFG= ∠ EFD=（x+15）° ∵ FH∥ EP ∴ ∠ PEF=∠ EFH=x°，∠ P=∠ HFG ∵ ∠ HFG=∠ EFG-∠ EFH=15° ∴ ∠ P=15° 【解析】【解答】解：（1）分别过点 E、F 作 EM∥ AB，FN∥ AB，则有 AB∥ EM∥ FN∥ CD. ∴ ∠ B=∠ BEM=30°，∠ MEF=∠ EFN，∠ DFN=180°-∠ CDF=60°， ∴ ∠ BEF=∠ MEF+30°，∠ EFD=∠ EFN+60°， ∴ ∠ EFD=∠ BEF+30°=90°. 【分析】（1）分别过点 E、F 作 AB 的平行线，根据平行线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质可得∠ DFN=60°，∠ BEM=30°，∠ MEF=∠ NFE，即可得到结论； （3）过点 F 作 FH∥ EP，设∠ BEF=2x°，根据（2）中结论即可表示出∠ BFD，根据角平分线 的定义可得∠ PEF=x°，∠ EFG=（x+15）°，再根据平行线的性质即可得到结论.