N xy Mx
k
y
b21
b22
b62
d 21
d 22
d 62
M
y
k xy b61 b62 b66 d 61 d 62 d 66 M xy
谢谢
可以证明，耦合刚度矩阵[c]和[b]有以下关系
[c] [b]T
可写成
0 x
0 y
a11 a21
a12 a22
a61 a62
b11 b21
b12 b22
b61 N x
b62
Ny
0 xy
kx
ab1611
a62 b12
a66 b61
b61 d11
b62 d 21
b66 d 61
单层角度
层合板的标记
多层表示形式
/ 0 / 90 /
不同厚度的还要注明厚度
层合板的标记
对称层合板
45 / 45 / 0 / 0 / 45 / 45 45 / 45 / 0 / 45 / 45
表示形式
45 / 45 / 0 S
45 / 45 / 0S
反对称层合板
45 / 45 / 30 / 30 / 45 / 45
hk 1
Q21 Q61
Q12 Q22 Q62
Q61
Q62
Q66 k
kx
k
y
kxy
hk
zdz
hk 1
M M
x y
N
QQ1211
M xy k1 Q61
Q12 Q22 Q62
Q61
Q62
0 x
0 y
Q66
k
0 xy
hk zdz
hk 1
QQ1211 Q61
Q12 Q22 Q62
x y
xy
k
dz
M M
x y
M xy
N k 1
hk hk 1
x y
xy
k
dz
层合板的内力与内力矩与中面应变与曲率的关系为
N x
N
y
N
QQ1211
N xy k1 Q61
Q12 Q22 Q62
Q61
Q62
0 x
0 y
Q66
k
0 xy
Q11
hk dz
2 t
k x
dz
2
t
N
k y
2 t
k y
dz
2
t
N
k xy
2 t
k xy
dz
2
内力矩为
t
M
k x
2 t
k x
zdz
2
t
M
k y
2 t
k y
zdz
2
t
M
k xy
2 t
k xy
zdz
2
层合板的单层
层合板的内力和内力矩
对于有n层单层的层合 板，其内力和内力 矩是各单向层内力 和内力矩的叠加：
C
D
k
工程问题中经常需要解决已知内力求变形的问 题，这就需要知道层合板的变形—内力关系。
0 a b N
k
c
d
M
层合板中的变形-内力关系
0 a b N
kLeabharlann cdM式中矩阵[a]和[d]为面内柔度矩阵和弯曲柔度矩 阵，矩阵[b]和[c]为耦合柔度矩阵
[a] [ A]1 [B* ][D* ]1[c* ]
Q12 Q22
Q16 Q26
kx ky
xy
Q61
Q62
Q66
k
0 xy
Q61 Q62 Q66 k kxy
简写成
k x, y
Q
k
0
x, y
zQ
k
k
x, y
层合板中单向层的应力—应变关系
典型层合板的应变和应力的变化
层合板的内力和内力矩
第k层的内力为
t
N
k x
对于距中面为z的第k层，其应力—应变关系为
x y
QQ1211
Q12 Q22
Q16 Q26
x y
xy k Q61 Q62 Q66 k xy k
得到用中面应变和曲率表示的层合板第k层的应力为
x y
QQ1211
Q12 Q22
Q16 Q26
0 x
0 y
z QQ1211
Bij
1 2
n
Qijk (hk2
k 1
h2 k 1
)
(i, j 1,2,6)
可以简写成
Dij
1 3
n k 1
Qijk
(hk3
h3 k 1
)
[N]x,y [A][ 0 ]x,y [B][k]x,y
[M ]x,y [B][ 0 ]x,y [D][k]x,y
层合板的内力—变形关系
展开
N N
1 2
n
[Q
k 1
]k
(hk2
hk21 )[ 0 ]x,y
1 3
m
[Q ]k
k 1
(hk3
hk31 )
[k]xy
层合板的内力—变形关系
系数矩阵用[A],[B],[D]表达，并分别称为面内刚度矩
阵、耦合刚度矩阵和弯曲刚度矩阵，这3个矩阵均
为对称矩阵各矩阵的刚度系数为：
n
Aij Qijk (hk hk1 ) k 1
层合板的基本假设
层合板特性： 弹性薄板，其厚度远小于板的面内尺寸 板的所有位移都小于板厚， 各单层之间粘结牢固，没有相对滑移
1．直法线假设
假设层合板受力弯曲变形后 ，原垂直于中面的法线 仍保持直线并垂直于变形后的中面，因此层合板 横截面上的剪应变为零，
yz 0, zx 0
层合板的基本假设
复合材料层合板的 弹性特性
内容
层合板的标记 经典层合板理论和一般层合板的刚度 对称层合板的弹性特性 特殊非对称层合板的弹性性能 层合板的非中面刚度系数 层合板的工程弹性常数 层合板的单层应力和应变分析
层合板的标记
单层板标记
材料主方向 局部坐标系
参考坐标系 整体坐标系
单元坐标系 有限元中的坐标系
层合板坐标
由基本假设可得到层合板x方向和y方向的中面位移 u0和v0以及z方向的位移w0只是x, y的函数
u0 u0 (x, y) v0 v0 (x, y) w w(x, y)
层合板的应变—位移关系
Pl.状态下的刚度矩阵为：[]=[Q][]
在层合板中取垂直于y轴的截面，其变形前后状态如
图所示。变形后x轴（中面）转动角度为
x y
0 x
0 y
z
x y
xy
0 xy
xy
层合板的应变—位移关系
x y
0 x
0 y
z
x y
xy
0 xy
xy
简写成
x,y 0 x,y z k x,y
可见，层合板的应变沿板厚方向是线性变化的。
层合板中单向层的应力—应变关系
0 / 90 表示什么铺层 2S
单层正交平面织物 每单层用(0/90)，(±45)表示
0 / 45 / 90 表示什么铺层
层合板的标记
对于层间混杂的层合板，各单层或单层组的材料性 质用相应的英文字下标表示下角度下。英文字母 C表示碳纤维，G表示玻璃纤维，K表示芳纶纤维， B表示硼纤维。
经典层压理论和 一般层合板的刚度
x y
A11
A21
A12 A22
A61
A62
0 x
0 y
B11 B21
B12 B22
B61
B62
kx ky
N xy
A61
A62
A66
0 xy
B61
B62
B66 k xy
M M
x y
B11
B21
B12 B22
B61 B62
0 x
0 y
D11
D21
D12 D22
D61 D62
kx ky
M xy
B61
B62
B66
0 xy
D61
D62
D66 k xy
得到一般层合板广义力和广义中面应变之间的关 系，也称一般层合板的物理方程。
N A
M
C
B D
0
k
耦合效应
层合板中的变形-内力关系
N A B 0
M
Q61
Q62
Q66 k
kx ky
k xy
hk
z
2
dz
hk 1
层合板的内力—变形关系
中面应变和曲率不随单层的位置而变化 可得到
N
x, y
n
[Q ]k (hk
k1
hk1 )[ 0 ]x,y
1 2
m
[Q ]k (hk2
k 1
hk21 ) [k]xy
M
x, y
0 / 90 / 0 / 90 / 0 / 90
45 / 45 / 0 / 45 / 45
非对称层合板
45 / 45 / 30 / 30 / 45
层合板的标记
特殊表示 45 / 45 / 0 / 90 / 0 / 0 / 45 / 45 / 90
45 / 45 / 0 / 90 / 02 / 45 / 45 / 90 45 / 0 / 90 / 02 / m45 / 90
[b] [B* ][D* ]1 [c] [D* ]1[c* ] [d ] [D* ]1
[B* ] [ A]1[B] [C * ] [B][ A]1 [D* ] [D] [B][ A]1[B]