B12 B 22
B16 B 26


k k
x y


N
xy

A 16
A 26
A
66



0 xy

B16
B 26
B
66

k
xy

M
x
M y

B11 B 21
B12 B 22
B16 B 26


XZ平面内的变形几何
层合板厚度上任意一点z的位移u为：
u

u0

z
w 0 x
同样，在yz平面内，y方向上的位移v为：
v

v0

z
w 0 y
经典层合理论
板内任一点的位移分量可表示为：
由直法线不变假设，得 z 0
zx zy 0
u u(x, y, z) v v(x, y, z) w w(x, y, z)
0 x
0 y


D11 D21
D12 D22
D16 D26


kx ky

M
xy

B16
B 26
B
66



0 xy

D16
D26
D66

k
xy

N
Aij
Qij k (zk zk1 )
k 1
Bij
Et 1 A66 2(1 ) 2 A
Bij 0
D11

Et 3 12(1 2
)

D
D12 D
D22 D
D16 D26 0
Et 3
1
D66 24(1 ) 2 D
层合板刚度的特殊情况
合力仅仅与层合板中面内的应变有关，合力矩仅与中 面的曲率有关
v v0 z y y y y
v u0 v0 z( x
x y x
y

{k} y ) x

y y


( x y

y x
)
经典层合理论
{} {0 } z{k}
k Qk k

x
y



QQ1211
Q12 Q22
Q16 Q26


x y



xy

Q16
Q26
Q66



xy

第k层的应力-应变关系 k Q k k
•层与层过渡和层与层的结合方式的考虑 •沿厚度方向的积分
经典层合理论
z0 t / 2
经典层合理论


Nx
Ny

N
QQ1211

N xy

k1 Q16
Q12 Q22 Q26
Q16
Q26


Q66

k

zk z k 1

0 x
0 y


0 xy
dz

zk z k 1
w w0 (x, y)
u

u0

z
w 0 x
v

v0

z
w 0 y
经典层合理论
x

u x

u0 x

z
2w0 x2
应变有位移确定如下:
y

v y

v0 y

z
2w0 y 2
xy

u y

v x

u0 y

v0 x

2z
2w0 xy
经典层合理论
z,w
x,u
u0
y,v
A
B
A
zc C x
B
w0
C

z
D
D
zc
变形前的横截面
变形后的横截面
XZ平面内的变形几何
经典层合理论
u0
A
B
zc C x
z
D
变形前的横截面
A
B
w0
C

D
zc
变形后的横截面
B：中面上一点 C：任意点
uC u0 zc 是层合板中面在X方向上的斜率
w0 x

0 xy
zdz

zk z k 1

k
x
ky
k xy
z
2dz

不是z的函数而是中面值
经典层合理论

N
x
Ny

A11

A
21
A12 A 22
A A
16 26


0 x
0 y


B11 B 21

x
y



QQ1211
Q12 Q22
Q16 Q26


0 x
0 y


z
kx ky



xy

Q16
Q26
Q66



0 xy

k
xy

每一层的Qij是不同的
经典层合理论
D22

Q22t 3 12
D16 D26 0
A66 Q66t
D66

Q66t 3 12
合力仅仅与层合板中面内的应变有关，合力矩仅与中面的曲率有关
N
x
Ny



A11

A
12
A12 A 22
0 0


0 x
0 y

N
xy

0
0

12


12

Q16

1N 2 k1
Qij
k
(
z
2 k

z
2 k
1
)
Dij
1 N 3 k1
Qij
k
(z
3 k

z
3 k
1
)
子矩阵[A]、[B]和 [D]分别称
为面内刚度矩阵、耦合刚度矩 阵和弯曲刚度矩阵，都是3×3 对称矩阵
经典层合理论
Bij的存在意味着层和板在弯曲和拉伸之间的相 互耦合 拉力不仅引起层合板的拉伸变形，而且也使层 合板扭转或弯曲 层合板承受力矩作用时，也会引起中面的拉伸 变形 化简问题：A B D
层间变形一致性假设：层合板各单层之间粘合层非常薄， 单层边界两边的位移是连续的，层间不能滑移，无相对位 移
直法线不变假设：假设垂直于层合板中面的一根初始直线，
在层合板受到拉伸和弯曲后，仍保持直线并垂直于中面；
变形前垂直与板中面的直线在变形后仍保持垂直，且长度
不变，即：
z 0, zx 0, zy 0
板的克希荷夫假设(Kirchhoff)
壳的克希荷夫-勒普假设(Kirchhoff-Love)
在上述假设基础上建立的层合板理论称为经典层合板理论
上述假设没有针对层合平板的限制，层合板也可以时曲面 或壳
经典层合理论
另外
单层平面应力状态假设：层合板中各单层都可近似 地认为处于平面应力状态
z=0假设：在厚度方向上的正应力于其它应力相比 很小，可忽略不计
dz

k
M
x

My
M
xy

t/ t
2 /2


x y
xy
zdz

N k 1
zk zk1


x y
xy
k
zdz
t/2 z0 z1 z2
1 2
z k
N 层数
按每一层
Zk-1 zk
t zN-1 zN

k k
x y


M
xy

D16
D26
D66

k
xy

拉伸与弯曲之间没有耦合影响，面内有耦合
层合板刚度的特殊情况
各向异性单层
Aij Qijt
Bij 0
Dij

Qijt 3 12

1 2


Q11 Q 21
Q12 Q 22
Q16 Q 26
若用矩阵形式表示 {} {0 } z{k}

u0

x
{0
}



v0 y

u0 y

v0 x

2w


x2

{k}



2w y2



2
2w xy

经典层合理论
{0 }
x y xy



各向同性层板的拉伸与弯曲之间没有耦合影响，面内没有 耦合，同时
D At 2 12
层合板刚度的特殊情况
特殊正交各向异性单层
D11

Q11t 3 12