专题六数列第十七讲 递推数列与数列求和答案部分 2019年1.解析 （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 依题意得2662,6124q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3.2d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n n n n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯.所以，{}n a 的通项公式为(){}31,n na n nb *=+∈N 的通项公式为()32n nbn *=⨯∈N .（Ⅱ）（i ）()()()()22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-. 所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()()221941n n n a c n *-=⨯-∈N . （ii ）()()222211112211n n n niii iiiiii i i i ca c a a c a a ====-⎡⎤=+-=+⎣⎦∑∑∑∑()()12212439412n nn ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N .2010-2018年1．【解析】∵113n n a a +=-，∴{}n a 是等比数列又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113S -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-+，故选C ．2．D 【解析】由数列通项可知，当125n剟，n N +∈时，0n a …，当2650n剟，n N +∈ 时，0n a …，因为1260a a +>，2270a a +>⋅⋅⋅∴1250,,,S S S ⋅⋅⋅都是正数；当51100n 剟，n N +∈同理5152100,,,S S S ⋅⋅⋅也都是正数，所以正数的个数是100.3．63-【解析】通解 因为21n n S a =+，所以当1=n 时，1121=+a a ，解得11=-a ；当2=n 时，12221+=+a a a ，解得22=-a ； 当3=n 时，123321++=+a a a a ，解得34=-a ； 当4=n 时，1234421+++=+a a a a a ，解得48=-a ； 当5=n 时，12345521++++=+a a a a a a ，解得516=-a ； 当6=n 时，123456621+++++=+a a a a a a a ，解得632=-a ． 所以61248163263=------=-S ．优解 因为21n n S a =+，所以当1=n 时，1121=+a a ，解得11=-a ， 当2≥n 时，112121--=-=+--n n n n n a S S a a ，所以12-=n n a a ，所以数列{}n a 是以1-为首项，2为公比的等比数列，所以12-=-n n a ，所以661(12)6312-⨯-==--S ． 4．21n n +【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得11a =，1d =， ∴1(1)(1)22n n n n n S na d -+=+⨯=，所以12112()(1)1n S k k k k ==-++， 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n ==-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++∑． 5．1n-【解析】当1n =时，111S a ==-，所以111S =-， 因为111n n n n n a S S S S +++=-=，所以1111n n S S +-=，即1111n nS S +-=-，所以1{}nS 是以1-为首项，1-为公差的等差数列， 所以1(1)(1)(1)n n n S =-+--=-，所以1n S n=-． 6．2011【解析】由题意得：112211()()()n n n n n a a a a a a a a K ---=-+-++-+ (1)1212n n n n L +=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++．7．【解析】当n =1时，1a =1S =12133a +，解得1a =1， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2133n a +－(12133n a -+)=12233n n a a --，即n a =12n a --，∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1(2)n --.8．（1）116-，（2）10011(1)32-【解析】(1)∵1(1)2nn n nS a =--． 3n =时，a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18 ①4n =时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，∴a 1＋a 2＋a 3＝－116. ②由①②知a 3＝－116．(2)1n >时，11111(1)()2n n n n S a ----=--，∴11(1)(1)()2n n n n n n a a a -=-+-+当n 为奇数时，1111()22n n n a a +-=-； 当n 为偶数时，11()2nn a -=-．故11(),21(),2n n n n a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，11,20,n n n S n +⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数∴121002461001111()2222S S S ++⋅⋅⋅+=-+++⋅⋅⋅+10010010011(1)111142(1)(1)1323214-=-=--=--．9．1830【解析】可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+1123410b a a a a =+++=⇒15151410151618302S ⨯=⨯+⨯=． 10．3018【解析】因为cos 2n π的周期为4；由cos 12n n a n π=+n N *∈∴12346a a a a +++=，56786a a a a +++=，… ∴201250363018S =⨯=．11．【解析】(1)由42a +是3a ，5a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =． 由3520a a +=得18()20q q+=， 因为1q >，所以2q =．(2)设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S ．由11,1,2n nn S n c S S n -=⎧=⎨-⎩≥，解得41n c n =-．由(1)可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)()2n n n b b n ---=-⋅，2n ≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-+-23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+．设221113711()(45)()222n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，2n ≥，2311111137()11()(45)()22222n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅，因此2114(43)()2n n T n -=--⋅，2n ≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=--⋅．12．【解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ．由1321,2,a a a ==+可得220q q --=．因为0q >，可得2q =，故12n n a -=．设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =(2)(i)由(1)，有122112nn n S -==--， 故1112(12)(21)22212n nnkkn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑． (ii)证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑L ． 13．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列.14．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． （Ⅱ）记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，； 当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，； 当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．15．【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，2211143434---+--=+--=n n n n n n n a a a a S S a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++，所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++L =1111111[()()()]235572123n n -+-++-++L=116463(23)nn n -=++. 16．【解析】（1）由题意知：1212242n n n a a na -++++=-L当3=n 时，121222=42++-a a ； 当3=n 时，1232322+3=42++-a a a ；321322233=4(4)224++---=a31=4a（2）当1n =时，11112412a -+=-=； 当2n ≥时，由1212242n n n a a na L -++++=-知 1212122(1)42n n n a a n a L ---++++-=-两式相减得21112222n n n n n n nna ---++=-=， 此时112n n a -=．经检验知11a =也满足112n n a -=．故数列{}n a 是以1为首项，12为公比的公比数列， 故111[1()]1221212n n n T -⨯-==--． （3）由（1）（2）知，111b a ==．当2n ≥时，2111211111112(1)(1)23232n n n n n T b a n nn n ----=++++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+⋅1211111(1)2312n n n n -=++++⋅⋅⋅+-⋅-． 当1n =时，1122ln12S =<+=，成立；当2n ≥时，1221121111[(1)][(1)]2223232n S =++-⋅+++-⋅+⋅⋅⋅1211111[(1)]2312n n n n -+++++⋅⋅⋅+-⋅- =212311111111111112()()()2322222222n n n --+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-34121211111111111()()()322221222n n n n n n ----+++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-- =212111111111212()(1)()123222212n n n ---+++⋅⋅⋅++-+⋅--33212111111111112()()()1322122212n n n n n n -----+⋅-+⋅⋅⋅+-+--- =1111111112()(1)()23222n n n --+++⋅⋅⋅++-+-111111111()()()32122n n n n n ---+-+⋅⋅⋅+-+-- 1111111122()(1)23232n n n -=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⋅11122()23n<+++⋅⋅⋅+．构造函数()ln(1),01xf x x x x=+->+ 2()0,()()1x f x f x x在0,+单调递增'∴=>∞+()ln(1)(0)01xf x x f x∴=+->=+ln(1)()1xx x 在0,+上恒成立∴+>∞+，即ln(1)1x x x<++ 1=,1x n 令-2n ≥，则11ln(1)1n n <+-， 从而可得11ln(1)221<+-，11ln(1)331<+-，⋅⋅⋅，11ln(1)1n n <+-， 将以上1n -个式子同向相加即得{}111111ln(1)ln(1)ln(1)2321311n n ++⋅⋅⋅+<++++⋅⋅⋅++=--- 23ln()ln 121n n n ⨯⨯⋅⋅⋅⨯=-， 故11122()22ln 23n S n n<+++⋅⋅⋅+<+综上可知，22ln n S n <+．17．【解析】（Ⅰ）2211111:(1)320,60,n S S S S =---⨯=+-=令得即所以11(3)(2)0S S +-=，1110,2, 2.S S a >∴==Q 即（Ⅱ）2222(3)3()0,:(3)()0,n n n n S n n S n n S S n n ⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦由得20(),0,30,,n n n n a n N S S S n n *>∈∴>+>∴=+Q 从而2212,(1)(1)2,n n n n a S S n n n n n -⎡⎤∴≥=-=+--+-=⎣⎦当时1221,2().n a a n n N *==⨯∴=∈又（Ⅲ）22313,()(),221644k k k N k k k k *∈+>+-=-+当时 111111113(1)2(21)44()()()244k k a a k k k k k k ∴==⋅<⋅+++-+ 11111111144(1)()(1)4444k k k k ⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦1122111(1)(1)(1)n n a a a a a a ∴++++++L 1111111()()11111141223(1)444444n n ⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦L ． 18．【解析】(Ⅰ) 11111121.S S a a n a S ⋅=-=∴=时，当Θ.1,011=≠⇒a a 11111111222221----=⇒-=---=-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当- .*,221}{11N n a q a a n n n ∈===⇒-的等比数列，公比为时首项为（Ⅱ）n n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅=ΛΛ321321321321设1432321+⋅++⋅+⋅+⋅=⇒n n a n a a a qT Λ上式错位相减：n n n nn n n n na qq a na a a a a T q 21211)1(111321⋅--=---=-++++=-++Λ*,12)1(N n n T n n ∈+⋅-=⇒．19．【解析】（1）由11111210,0,.22n n n n n nba n n a b a a n a b b a ----=>=>=++-知令11,n n n A A a b==， 当1122,n n n A A b b-≥=+时2112111222n n n n A b b b b ----=++++L21211222.n n n n b b b b---=++++L ①当2b ≠时，12(1)2,2(2)1nn n n n b b b A b b b⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--②当2,.2n n b A ==时 (2),222,2n n nn nb b b a b b ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩（2）当2b ≠时，（欲证1111(2)21,(1)2222n n n n n nn n n n n nb b b b b a nb b b ++++--=≤+≤+--只需证）11111212(2)(2)(22)2n nn n n n n n n b bb b b b ++++----+=++++-L 112222*********n n n n n n n n n b b b b b +-+---+=+++++++L L 21212222()222n n n nnn n n b b bb b b b --=+++++++L L12(222)222n n n n n n b n b n b +>+++=⋅=⋅L ，11(2) 1.22n n n n n n nb b b a b ++-∴=<+-梦想不会辜负每一个努力的人当112,2 1.2nn nbb a++===+时综上所述111.2nn nba++≤+。