历年平面向量高考试题汇集高考数学选择题分类汇编1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A.14 B .12 C ．1 D ．2 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( )A ．4B ．3C ．2D ．03．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0B.BE→ C.AD →D.CF→4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－12，则|a ＋2b|＝( )A. 2B. 3C. 5D.7 .5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π46．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B.7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k ＝( )A ．－12B ．－6C ．6D ．128．【2011大纲理数1全国卷】设向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c|的最大值等于( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．19．【2011课标理数北京卷】已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 10．【2011·课标文数湖南卷】设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．【解析】 因为a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a ＋λb)∥c ，(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝12.【解析】 因为a ∥b 且a ⊥c ，所以b ⊥c ，所以c ·(a ＋2b)＝c ·a ＋2b ·c ＝0.【解析】 BA→＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →－BC →＝BF →－BC →＝CF →，所以选D.【解析】 ||a ＋2b 2＝(a ＋2b)2＝||a 2＋4a ·b ＋4||b 2＝3，则||a ＋2b ＝3，故选B【解析】 因为2a ＋b ＝()2，4＋()1，－1＝()3，3，a －b ＝()0，3，所以||2a ＋b ＝32，||a －b ＝3.设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝()2a ＋b ·()a －b ||2a ＋b ||a －b ＝()3，3·()0，332×3＝22，又θ∈[]0，π，所以θ＝π4.【解析】 a·(2a －b)＝2a 2－a·b ＝0，即10－(k －2)＝0，所以k ＝12，故选D.【解析】 设向量a ，b ，c 的起点为O ，终点分别为A ，B ，C ，由已知条件得，∠AOB ＝120°，∠ACB ＝60°，则点C 在△AOB 的外接圆上，当OC 经过圆心时，|c|最大，在△AOB 中，求得AB ＝3，由正弦定理得△AOB 外接圆的直径是3sin120°＝2，||c 的最大值是2，故选A.【解析】 因为a －2b ＝(3，3)，由a －2b 与c 共线，有k 3＝33，可得k ＝1.【解析】 因为a 与b 的方向相反，根据共线向量定义有：a ＝λb(λ<0)，所以a ＝(2λ，λ)．由||a ＝25，得(2λ)2＋λ2＝25⇒λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a ＝(－4，－2)．11．【2011·课标理数天津卷】已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． 12．【2011·课标理数浙江卷】 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________． 13．【2011·新课标理数安徽卷】已知向量a ，b 满足(a ＋2b)·(a －b)＝－6，且|a |＝1，|b|＝2，则a 与b 的夹角为________． 14．【2011·课标文数福建卷】若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a·b 等于________．15．【2011·课标理数湖南卷】在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE→＝________. 16．【2011课标理数江西卷】已知|a|＝|b|＝2，(a ＋2b)·(a －b)＝－2，则a 与b 的夹角为________．17．【2011·课标文数江西卷】已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1·b 2＝________.18．【2011课标文数全国卷】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.19．【10安徽文数】设向量(1,0)a =,11(,)22b =,则下列结论中正确的是(A)a b = (B) 22•=a b(C)//a b (D)a b -与b 垂直20.【10重庆文数】若向量(3,)a m =，(2,1)b =-，0a b =g ，则实数m 的值为（A ）32- （B ）32（C ）2 （D ）6【解析】 建立如图1－6所示的坐标系，设DC ＝h ，则A(2,0)，B(1，h)．设P(0，y)，(0≤y ≤h) 则PA→＝(2，－y)，PB →＝(1，h －y)，∴||PA→＋3PB →＝25＋(3h －4y )2≥25＝5.【解析】 由题意得：||α||βsinθ＝12，∵||α＝1，||β≤1，∴sinθ＝12||β≥12.又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.【解析】 设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b)·(a －b)＝a 2＋a·b －2b 2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝12.因为0≤θ≤π，故θ＝π3.【解析】 由已知a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，得a·b ＝1×(－1)＋1×2＝1.【解析】 由题知，D 为BC 中点，E 为CE 三等分点，以BC 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，可得A ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，D(0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，36，故AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56，36，所以AD →·BE→＝－32×36＝－14.【解析】 设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b)(a －b)＝－2得|a|2＋a·b －2|b|2＝4＋2×2×cosθ－2×4＝－2，解得co sθ＝12，∴θ＝π3.【解析】 |e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12，所以b 1·b 2＝(e 1－2e 2)·(3e 1＋4e 2)＝3e 21－2e 1·e 2－8e 22＝3－2×12－8＝－6.【解析】 由题意，得(a ＋b)·(ka －b)＝k ||a 2－a·b ＋ka·b －||b 2＝k ＋(k －1)a·b －1＝(k －1)(1＋a·b)＝0，a 与b 不共线，所以a·b ≠－1，所以k －1＝0，解得k ＝1.【解析】11(,)22--a b =，()0a b b -=g ，所以-a b 与b 垂直.【解析】 D21.【10重庆理数】已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b •===，则2a b -=A. 0B. 22解析：2a b -=22844)2(222==+⋅-=-b b a a b a22．【10湖南文数】若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则a 与b 的夹角为CA. 300B. 600C. 1200D. 150023.【10全国卷理数】ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =uu r，CA b =uu r ，1a =，2b =，则CD =uu u r （A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 【解析】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得AD CA 2=DB CB 1=，所以D 为AB 的三等分点，且22AD AB (CB CA)33==-u u u r u u u r u u u r u u u r，所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r，选B.24. 【10辽宁文数】平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==u u u r r u u u r r,则OAB ∆的面积等于（A 222()a b a b -⋅r r r r （B 222()a b a b +⋅r r r r （C 2221()2a b a b -⋅r r r r （D 2221()2a b a b +⋅r r r r2222111()||||sin ,|||1cos ,||||1222||||OABa b S a b a b a b a b a b a b ∆⋅=<>=-<>-r r r r r r r r r r r r r r 2221()2a b a b =-⋅r r r r25.【10全国卷】△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB u u u r = a , CA u u u r=b , a = 1 ，b = 2, 则CD uuu r =（A ）13a + 23b （B ）23a +13b （C ）35a +45b （D ）45a+35b ∵ CD 为角平分线，∴ 12BD BC AD AC ==，∵ AB CB CA a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，∴ 222333AD AB a b ==-u u u r u u u r r r ，∴ 22213333CD CA AD b a b a b=+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r26.【10山东理数】定义平面向量之间的一种运算“e ”如下，对任意的a=(m,n)r ，b p,q)=r （，令a b=mq-np r r e ，下面说法错误的是（ ）A.若a r 与b r共线，则a b=0r r e B.a b=b a r r r r e eC.对任意的R λ∈，有a)b=(λλr r e （a b)r r e D. 2222(a b)+(ab)=|a||b|r r r r r r e 【解析】若a r 与b r 共线，则有a b=mq-np=0r r e ，故A 正确；因为b a pn-qm =r re ，而 a b=mq-np r re ，所以有a b b a ≠r r r r e e ，故选项B 错误，故选B 。