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数列历年高考真题分类汇编

专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用答案部分 2019年1.解析:对于B ,令2104x λ-+=,得12λ=, 取112a =,所以211,,1022n a a ==<, 所以当14b =时,1010a <,故B 错误;对于C ,令220x λ--=,得2λ=或1λ=-, 取12a =,所以22,,210n a a ==<,所以当2b =-时,1010a <,故C 错误; 对于D ,令240x λ--=,得12λ±=, 取1a =2a =,…,10n a =<, 所以当4b =-时,1010a <,故D 错误;对于A ,221122a a =+,223113224a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 242431911714216216a a a ⎛⎫=++++=> ⎪⎝⎭,10n n a a +->,{}n a 递增,当4n 时,11132122n n n n a a a a +=+>+=,所以5465109323232a a a a a a ⎧>⎪⎪⎪>⎪⎨⎪⎪⎪>⎪⎩,所以610432a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以107291064a >>故A 正确.故选A . 2.解析:(1)设数列{}n a 的公差为d ,由题意得11124,333a d a d a d +=+=+,解得10,2a d ==.从而*22,n a n n =-∈N .由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++.解得()2121n n n n b S S S d++=-. 所以2*,n b n n n =+∈N .(2)*n c n ===∈N . 我们用数学归纳法证明.①当n =1时,c 1=0<2,不等式成立;②假设()*n k k =∈N时不等式成立,即12h c c c +++<.那么,当1n k =+时,121k k c c c c +++++<<<==即当1n k =+时不等式也成立. 根据(1)和(2),不等式12n c c c +++<对任意*n ∈N 成立.3.解析(1)设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩,得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩,解得112a q =⎧⎨=⎩. 因此数列{}n a 为“M—数列”.(2)①因为1122n n n S b b +=-,所以0n b ≠. 由1111,b S b ==,得212211b =-,则22b =. 由1122n n n S b b +=-,得112()n n n n n b b S b b ++=-, 当2n ≥时,由1n n n b S S -=-,得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---,整理得112n n n b b b +-+=.所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知,b k =k ,*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1,所以1k kq k q -≤≤,其中k =1,2,3,…,m .当k =1时,有q ≥1; 当k =2,3,…,m 时,有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-. 设f (x )=ln (1)x x x >,则21ln ()xf 'x x -=. 令()0f 'x =,得x =e.列表如下:x (1,e)e (e ,+∞) ()f 'x+0 –f (x )极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=,所以max ln 3()(3)3f k f ==.取q =k =1,2,3,4,5时,ln ln kq k,即k k q ≤,经检验知1k q k -≤也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k =3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216, 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上,所求m 的最大值为5.3.解析:(I )1,3,5,6.(答案不唯一).(II )设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为110,...,,q r r n a a a -.由p q <,10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a .又12,,...,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列,所以0,p m r a a ≤所以00m n a a <.(III )由题设知,所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明:若2m 是{}n a 中的项,则2m 必排在2m -1之前(m 为正整数).假设2m 排在2m -1之后,设121,,...,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m -1的递增子列,则121,,...,,2 1.2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m+1末项为2m 的递增子列,与已知矛盾.再证明:所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项,设不在{}n a 中的最小正偶数为2m.因为2k 排在2k -1之前() 1,2,1k m =⋯- ,所以2k 和2k -1不可能在{}n a 的同一个子列中. 又{}n a 中不超过 21m +的数为1,2,….., 21m -, 21m +, 所以{}n a 的长度为 1m +末项为 21m +的递增子列个数至多为12222112 2m m -⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=<,与已知矛盾.最后证明 2m 排在 23m -之后( 2m ≥为整数).假设存在 2m ( 2m ≥),使得 2m 排在 23m -之前,则{}n a 的长度为 1m +末项为 21m +的递增子列个数小于 2m ,与已知矛盾.综上,数列{}n a 只可能为2,1,4,3,,23,2,21,m m m ⋅⋅⋅--⋅⋅⋅. 经验证,数列2,1,4,3,,23,2,21,m m m ⋅⋅⋅--⋅⋅⋅符合条件, 所以1,1.n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数.2010-2018年1.A 【解析】对数列进行分组如图k321∙∙∙,222121,2k 22,21,20,20,20,20则该数列前k 组的项数和为(1)1232k k k ++++⋅⋅⋅+= 由题意可知100N >,即(1)1002k k +>,解得14k ≥,n ∈*N 即N 出现在第13组之后.又第k 组的和为122112kk -=-- 前k 组的和为1(12)(122)k +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+12(21)(21)(21)k =-+-+⋅⋅⋅+- 12(222)k k =++⋅⋅⋅+-122k k +=--,设满足条件的的N 在第1k +(k ∈*N ,13k ≥)组,且第N 项为第1k +的第m ()m ∈*N 个数,第1k +组的前m 项和为211222m -+++⋅⋅⋅+21m =-,要使该数列的前N 项和为2的整数幂, 即21m -与2k --互为相反数, 即212mk -=+, 所以23mk =-,由14k ≥,所以2314m-≥,则5m ≥,此时52329k =-= 对应满足的最小条件为29(291)54402N +=+=,故选A . 2.C 【解析】由题意可得10a =,81a =,2a ,3a ,…,7a 中有3个0、3个1,且满足对任意k ≤8,都有1a ,2a ,…,k a 中0的个数不少于1的个数,利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111, 00011011, 00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101,共14个.3.A 【解析】对命题p :12,,,n a a a 成等比数列,则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ; 对命题q ,①当0=n a 时,22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立;②当0≠n a 时,根据柯西不等式,等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立,则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==,所以12,,,n a a a 成等比数列, 所以p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件.4.A 【解析】2a ,4a ,8a 成等比数列,∴2428a a a =⋅,即2111(6)(2)(14)a a a +=++,解得12a =,所以(1)n S n n =+.5.B 【解析】∵21)(x x f =在[0,1]上单调递增,可得1110()()0f a f a ->,1211()()0f a f a ->,…,199198()()0f a f a ->,∴111101211199198|()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+-1110121119919819910()()+()()()()=()()f a f a f a f a f a f a f a f a --+⋅⋅⋅+--=299-0=199() ∵),(2)(22x x x f -=在490]99[,上单调递增,在50[,1]99单调递减 ∴2120()()0f a f a ->,…,249248()()0f a f a ->,250249()()0f a f a -=,251250()()0f a f a -<,…,299298()()0f a f a -<∴221202221299298|()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+- =24920299250()()[()()]f a f a f a f a ---=250202992()()()f a f a f a --=505098004(1)199999801⨯⨯-=< ∵|2sin |31)(3x x f π=在24[0,]99,5074[,]9999上单调递增,在2549[,]9999,75[,1]99上单调递减,可得33253493742492()2()2(=(2sin sin )39999I f a f a f a ππ=-+-)252(2sin sin )(1312123444ππ>-=-=> 因此312I I I <<.6.27【解析】所有的正奇数和2n (*n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ,在数列{}n a中,52前面有16个正奇数,即5212a =,6382a =.当1n =时,1211224S a =<=,不符合题意;当2n =时,2331236S a =<=,不符合题意;当3n =时,3461248S a =<=,不符合题意;当4n =时,45101260S a =<=,不符合题意;……;当26n =时,52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-= 441 +62= 503<2712516a =,不符合题意;当27n =时,52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-=484 +62=546>2812a =540,符合题意.故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27.7.5【解析】设数列的首项为1a ,则12015210102020a +=⨯=,所以15a =,故该数列的首项为5.8.12【解析】将82a =代入111n n a a +=-,可求得712a =;再将712a =代入111n na a +=-,可求得61a =-;再将61a =-代入111n na a +=-得52a =;由此可知数列{}n a 是一个周期数列,且周期为3,所以1712a a ==. 9.64【解析】由11a =且125,,a a a 成等比数列,得2111(4)()a a d a d +=+,解得2d =,故81878642S a d ⨯=+=. 102a t =,则23112t q t q t q ++≤≤≤≤≤≤,由于1t ≥,所以max{q t ≥,故q.11.4【解析】由题意得1122(4)()(1)(14)()3322(4)()(1)(14)()33k k k k k k k k k k k k -+⎧+>--+⎪⎪⎨⎪+>+++⎪⎩,得22(1)1010k k ⎧-<⎨>⎩,因此*k N ∈,所以4k =.12.【解析】(1)由条件知:(1)n a n d =-,12n n b -=.因为1||n n a b b -≤对n =1,2,3,4均成立, 即1|(1)2|1n n d ---≤对n =1,2,3,4均成立,即1≤1,1≤d ≤3,3≤2d ≤5,7≤3d ≤9,得7532d ≤≤. 因此,d 的取值范围为75[,]32.(2)由条件知:1(1)n a b n d =+-,11n n b b q -=.若存在d ,使得1||n n a b b -≤(n =2,3,···,m +1)成立,即1111|(1)|n b n d b q b -+--≤(n =2,3,···,m +1),即当2,3,,1n m =+时,d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--.因为q ∈,则112n m q q -<≤≤,从而11201n q b n --≤-,1101n q b n ->-,对2,3,,1n m =+均成立. 因此,取d =0时,1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立.下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值(2,3,,1n m =+). ①当2n m ≤≤时,111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---, 当112mq <≤时,有2n m q q ≤≤,从而1() 20n n n n q q q ---+>. 因此,当21n m ≤≤+时,数列12{}1n q n ---单调递增,故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-. ②设()()21x f x x =-,当0x >时,ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<, 所以()f x 单调递减,从而()(0)1f x f <=.当2n m ≤≤时,111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-, 因此,当21n m ≤≤+时,数列1{}1n q n --单调递减,故数列1{}1n q n --的最小值为mq m. 因此,d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-.13.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=,得21()12b q q +=,而12b =,所以260q q +-=. 又因为0q >,解得2q =.所以,2nn b =.由3412b a a =-,可得138d a -= ①. 由114=11S b ,可得1516a d += ②,联立①②,解得11a =,3d =,由此可得32n a n =-.所以,数列{}n a 的通项公式为32n a n =-,数列{}n b 的通项公式为2nn b =.(Ⅱ)设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ,由262n a n =-,12124n n b --=⨯,有221(31)4nn n a b n -=-⨯, 故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯,23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯,上述两式相减,得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328433n n n T +-=⨯+. 所以,数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 14.【解析】(Ⅰ)用数学归纳法证明:0n x >当1n =时,110x => 假设n k =时,0k x >,那么1n k =+时,若10k x +≤,则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤,矛盾,故10k x +>. 因此0n x >()n ∈*N所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>因此10n n x x +<<()n ∈*N(Ⅱ)由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++ 记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥函数()f x 在[0,)+∞上单调递增,所以()(0)f x f ≥=0, 因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤ (Ⅲ)因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤所以112n n x -≥得 由1122n n n n x x x x ++-≥得 111112()022n n x x +-->≥ 所以12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥ 故212n n x -≤综上,1211(N )22n n n x n *--∈≤≤ .15.【解析】(Ⅰ)由已知,1211,1,nn nnS qS S qS两式相减得到21,1n n a qa n.又由211S qS 得到21a qa ,故1nn a qa 对所有1n都成立.所以,数列{}n a 是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q .由2322+2a a a ,,成等比数列,可得322=32a a ,即22=32,q q,则(21)(2)0q+q ,由已知,0q ,故 =2q . 所以1*2()n na nN .(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,1n na q . 所以双曲线2221n y xa 的离心率 22(1)11nnn e a q .由2513q q 解得43q . 因为2(1)2(1)1+k kq q 2(1)1*k k q kN (). 于是11211+1n n nq e e e qqq ,故1231433n nn e e e . 16.【解析】(Ⅰ)由题意有,1110451002a d a d +=⎧⎨=⎩ ,即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩.解得112a d =⎧⎨=⎩ 或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩,故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279)929()9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩. (Ⅱ)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故1212n n n c --=,于是 2341357921122222n n n T --=++++++, ① 2345113579212222222n nn T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-,故n T 12362n n -+=-. 17.【解析】(Ⅰ)2()()212,n n n F x f x x x x 则(1)10,n F n1211111112()1220,12222212n nn n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx -'=++>,故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增,所以()n F x 在1(,1)2内有且仅有一个零点n x .因为n x 是()n F x 的零点,所以()=0n n F x ,即11201n n nx x ,故111=+22n n n x x .(Ⅱ)解法一:由题设,11().2nn n x g x设211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x当1x =时, ()()n n f x g x当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-若01x ,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-11110.22nnn n n n x x若1x ,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++-11110.22nnn n n n x x所以()h x 在(0,1)上递增,在(1,)+∞上递减, 所以()(1)0h x h ,即()()n n f x g x .综上所述,当1x 时, ()()n n f x g x ;当1x ≠时()()n n f x g x .解法二 由题设,211()1,(),0.2nn n n n x f x x x x g x x当1x 时, ()()n n f x g x ;当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x .当2n时, 2221()()(1)0,2f xg x x 所以22()()f x g x 成立.假设(2)n k k =≥时,不等式成立,即()()k k f x g x .那么,当+1nk 时,111k+1k 11()()()2kk kkk k x f x f x x g x x x 12112kk x k x k .又11k+121111()22kk kk x k x k kx k x g x令1()11(x 0)kk k h x kx k x ,则()()11()(k 1)11(x 1)kk k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-.所以当01x ,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减; 当1x ,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h ,从而1k+1211()2kk x k x k g x .故11()()k k f x g x .即+1n k ,不等式也成立.所以,对于一切2n ≥的整数,都有()()n n f x g x .解法三:由已知,记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,1,2,...,1k n =+. 则111a b ,11n n n a b x ,所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x 时, =k k a b ,所以()()n n f x g x .当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=--, 而2k n ≤≤,所以10k ,11n k -+≥. 若01x , 11nk x ,()0k m x '<,当1x ,11n k x,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m ,所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b ,11n n a b ,故()()n n f x g x综上所述,当1x 时, ()()n n f x g x ;当1x ≠时()()n n f x g x18.【解析】(Ⅰ)由21=0=22()n n n a a a n N λμ++-=∈,,有.若存在某个0,n N +∈使得0,no a =则由上述递推公式易得10,no a -=重复上述过程可得10a =,此与13a =矛盾,所以对任意,0n n N a +∈≠.从而12(),n n a a n N ++=∈即{}n a 是一个公比2q =的等比数列.故11132n n n a a q --==⋅.(Ⅱ)由01,1k λμ==-,数列{}n a 的递推关系式变为211010n n n n a a a a k +++-=, 变形为2101()().n n n a a a n N k +++=∈由上式及130a =>, 归纳可得12130n n a a a a +=>>⋅⋅⋅>>>⋅⋅⋅>.因为22220010001111111nnnnn nna a k k a a k k a a a k k ,所以对01,2,,n k =⋅⋅⋅求和得01010121()()k k k a a a a a a ++=+-+⋅⋅⋅+-010000102011111 =()111k a k k k k a k a k a -⋅+⋅++⋅⋅⋅++++0000011111>2+( )231313131k k k k k k ⋅++⋅⋅⋅+=+++++. 另一方面,由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>⋅⋅⋅>>>,得00110000102011111()111k k a a k k k k a k a k a +=-⋅+⋅++⋅⋅⋅++++0000011111<2+()221212121k k k k k k ⋅++⋅⋅⋅+=+++++. 综上,0100112+23121k a k k +<<+++.19.【解析】(Ⅰ),64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===4122421,,S S S S S S =∴成等比解得12,11-=∴=n a a n (Ⅱ))121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n ,当n 为偶数时11111(1)()()33557n T =+-+++-1111()()23212121n n n n ++-+---+ 1221211+=+-=∴n nn T n 11111(1)()()33557n n T =+-+++--当为奇数时, 1111()()23212121n n n n +++---+12221211++=++=∴n n n T n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,122. 20.【解析】(Ⅰ)由题意,()()*∈=N n a a a nb n 221 ,326b b-=,知3238b b a -==,又由12a =,得公比2q =(2q =-舍去),所以数列{}n a 的通项公式为2()n n a n N *=∈,所以()()1121232n n n n n a a a a ++==,故数列{}n b 的通项公式为,()1()n b n n n N *=+∈; (Ⅱ)(i )由(Ⅰ)知,11111()21n n n n c n N a b n n *⎛⎫=-=--∈ ⎪+⎝⎭, 所以11()12n n S n N n *=-∈+; (ii )因为12340,0,0,0c c c c =>>>; 当5n ≥时,()()11112n nn n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦,而()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=>, 得()()51551122n n n ++≤<, 所以当5n ≥时,0n c <,综上对任意n N *∈恒有4n S S ≥,故4k =.21.【解析】(I )因为{}n a 是递增数列,所以11n n n n n a a a a p ++-=-=.而11a =,因此又123,2,3a a a 成等差数列,所以21343a a a =+,因而230p p -=, 解得1,03p p == 当0p =时,1n n a a +=,这与{}n a 是递增数列矛盾。

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