(ii) 0 时, X ( x) C0 D0x,
由边值条件 X '(0) X '(l) 0 X ( x) C0
(iii) 0 时, X ( x) C1 cos x C2 sin x
由边值条件
由u( x, t)不恒为零，有：
取参数
X ('' x) T ''(t ) X ( x) a2T (t )
T '' a2T
X '' X
X ''( x) X ( x) 0 ②
T '' a2T 0 …..…….. ③
利用边界条件
X
(0)T
(t
)
0
④
X (l )T (t ) 0
④ 成立 X (0) 0, X (l) 0
第二类边界条件
u t 0 ( x) ut t 0 ( x)
解：令u( x, t) X ( x)T(t) , 得
XT ''a2 X "T 0 X '(0)T (t) 0 化简:
T '' a 2T
X '' X
X '(l)T (t)
引入参数 得
0
T '' a 2T
X '' X
X '(0)
将( x), ( x) 展开为Fourier级数，比较系数得
An
n
2 l
0l ( )sin
n
l
d
Bn
l
na
n
2
na
0l ( )sin
n
l
d
定理：若在区间 [0, l]上，( x) C 3, ( x) C 2，且
(0) (l) "(0) "(l) 0, (0) (l) 0
则无穷级数解
知
r1 ≠ r2 都是实根时，其通解为
y(x) = A exp(r1x) + B exp(r2x)
r1 、r2是两个相等的实根时，其通解为
y(x) = A exp(r x) + B x exp(r x)
r1,2=α±iβ是一对共轭复根时,其通解为 y(x) =exp(αx)(A cosβx + Bsinβx)
2u
t 2 u
x0
a2 0,
2u x 2
u
xl
0,
0,
0 xl t0
u
t
0
( x),
u ( x), 0 x l
t t0
特点: 方程齐次, 边界齐次.
设 u( x, t) X ( x)T (t) 且u( x, t)不恒为零，代入
方程和边界条件中得
XT '' a2 X ''T 0 ①
收敛于该点左右极限的平均值。
傅立叶级数推广
若函数f(t)的周期为T=2L，则傅里 叶展开式为
f
(t)
1 2
a0
n1(an
cos
n t
L
bn
sin
n
L
t
)
1
an L
L L
f
(t)
cos
n
L
t
dt,
bn
1 L
L L
f
(t) sin
n t
L
dt
1. 有界弦的自由振动
例1. 研究两端固定均匀的自由振动. 定解问题为：
l
) sin
n
l
x
n 1,2,3, 叠加
u( x, t )
(
in
n at
l
) sin
n
l
x
…….⑤
代入初始条件得：
u(
x,
t
)
nn1(1AAnn
cos
sin
nnllxat
Bn sin
( x)
n
l
at
)
sin
n
l
x
和 x=定l 解处问的题第n的一1解类Bn是齐nF次l ao边suinr界ien条rl正x件弦决级定(数x的)，。这是在 x＝0
u( x,t)
(
An
cos
n
l
at
Bn
sin
n
l
at
)
sin
n
l
x
n1
为如下混合问题的解
utt a2uxx 0
0 xl
u u
x0 t0
0
(
x
)
u xl 0 0 xl
ut t0 ( x)
0 xl
例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.
utt a2uxx 0 ux x0 0 ux xl 0
X'(l)
0
分离变量：
T '' a2T 0
X '' X 0
X
'
(0)
X '(l )
0
(i) 0 时，X ( x) C1e x C2e x
由边值条件
(C1 C2 ) 0 (C1e l C2e l ) 0
得C1 =C 2=0 从而 X ( x) 0 ，无意义
傅立叶级数
傅立叶展开定理：周期为2π的函数f(x) 可以展开为三角级数，展开式系数为
预
备
an
1
f (x)cos nxdx,bn
狄利克雷收敛定理：
1
f (x)sin nxdx
知 若函数在一个周期内连续或只有有限个第
识 一类间断点且在一个周期内至多只有有限
个极值点，则当x是连续点时，级数收敛
于该点的函数值；当x是间断点时，级数
第三章 分离变量法
分离变量法是求解线性偏微分方程定解问 题的普遍方法之一，它适用于各种类型的 偏微分方程。基本思想是将多元函数化为 单元函数，将偏微分方程化为常微分方程 进行求解。具体做法是：首先求出具有变 量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后 由其余的定解条件确定叠加系数。
(ii) 0 时，通解 X ( x) C1x C2
由边值条件
CC12l
0 C2
0
C1 C2 0 X ( x) 0, 0 无意义
(iii） 0时，通解 X ( x) C1 cos x C2 sin x
由边值条件：
得 C2 0,
C1 0
C2sin
l 0
从而 sin l 0
故
l n
即：
n2
l2
2
,
n 1，2,3,
而 X ( x) C sin nπ x,n 1,2,
2
l
再求解T：
T
"(t)
a2
n2
2
T
(t)
0
n
其解为
l2
n
两端 固定 弦本
的征
所以
Tn (t )
An
cos
n at
l
Bn
sin
n at
l
振动
un (
x,
t)
(
An
cos
n at
l
Bn
sin
n at
则
X '' X 0
⑤
X (0) 0, X (l) 0
参数 称为特征值.
特征值问题
函数X(x)称为特征函数
分三种情形讨论特征值问题的求解
(i) 0 方程通解为
X ( x) C e x C e x
1
2
由边值条件得：
CC1e1
C2 l
0 C2e
l
0
C1 =C 2=0 从而 X ( x) 0， 0无意义.
由于要将满足齐次偏微分方程和齐次边界 条件的解通过变量分离, 将其转化为常微 分方程的定解问题. 为此，我们首先给出 二阶线性常微分方程求解公式。
二阶线性常系数齐次微分方程的一般形式为
y”+ p y’+q y = 0
预 特征方程： r2 + p r +q = 0
备 特征根： r1 和 r2 . 当