u |C f (x, y)
(19’ )
在D C 上具有一阶连续偏导数的解存在的话，
那么问题(19’)的解可表示为
u(M 0 )


C
f
(x,
y)
G n
dS.
(20’)
其中
11
G(M , M0 )
2
ln rMM0
v,
(17’)
20
8 求解上半空间 z 0内的狄利克雷问题
7
第5章主要内容
(贝塞尔函数的应用)分 离变量法的想法
1. n 阶贝塞尔方程的固有值问题
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0, (32
F(R) 0 | F(0) | ,
()33
n 阶贝塞尔方程的通解可表示为
)
F(r) CJn ( r) DYn ( r),
(0 r r0 ),
(P)
u |rr0 f ( ).
思路2 将问题(P)的解看成两部分， 令
u(r, ) v(r, ) w(r, ),
v(r,) 和 w(r, ) 分别满足
第2章主要内
容 3.对于二维泊松方程的边值问题而言：
urr

1 r
ur

1 r2
u
F(r, ),
10
第3章主要内容 (适用无界区域)
1 无限长弦自由振动问题
utt a 2uxx ( x , t 0),
(3)
u(x,0) (x), ut (x,0) (x)
(4)
的达朗贝尔解为公式
u(x,t) (x at) (x at) 1
xat
书上例子很重要
12
书上例子中出现的傅里叶变换或逆变换
1.
F[ ( x)] 1
2.
F 1[sin m ] 1 , | x | m
2
3.
F 1[e2t ]
1
x2
e 4t (t 0)
4t
4.
F 1[e ||y ] 1

y y2 x2
( y 0)
5.
用分离变量法
4
第2章主要内
容 3.对于二维泊松方程的边值问题而言：
urr

1 r
ur

1 r2
u
F(r, ),
(0 r r0 ),
(P)
u |rr0 f ( ).
思路1 (1)找出此泊松方程的一个特解 w(r, ), 令
u(r, ) v(r, ) w(r, ),
(0 r r0 ),
(P)
u |rr0 f ( ).
固有函 数法
和
分离变 量法
vrr

1 r
vr

1 r2
v

F (r, ),(0 r r0 ),
(P1)
v |rr0 0.
wrr

1 r
wr
1 r2
w
0,
(0 r r0 ),
(P2)
w |rr0 f ( ).
u(x,0) (x), ut (x,0) (x)
(2)
的解为公式
u(x,t) (x at) (x at) 1
xat
()d
2
2a xat
(26
1
t xa(t )
f ( , )d.d.
2a 0 xa(t )
)
3. 会应用傅氏变换和拉氏变换求解定解问题
u(M
0
)


1
4

u(

M
)
n

1 rMM0


1 rMM0
u(M
)
dS.
n
(8)
二维情形下，调和函数的积分表达式
u(M
0
)


1
2
C
u(M

)
n

ln
1 rMM0


ln
1 rMM0
u(M
)
dS.
n
uxx uyy uzz 0 ( x, y, z) ,
(27)
u | f ( x, y, z).
(28)
其中 是以 o为心，R 为半径的球域，边界为.
球域上的格林函数为
G(M , M 0 )
1
4
1 rMM0
R
rOM 0
1 rMM1
.
(30)
解的积分表达式为
U0

ln
1 r
U0

1 r
2 空间上格林第二公式
(r 0),

(uv

vu)d




u
v n

v
u n
dS.
(6)
平面上格林公式
(uv
D
vu)d


C

u
v n
v u dS. n
(6’)
15
第4章主要内容
3 调和函数的积分表达式(三维情形)
u(M 0 )
1
4R

f (x, y, z)
R2
R 2 r02
r02 2Rr0 cos
3/ 2
dS.
(31)
(1)
u(0,t) u1(t),
u(l,t) u2 (t);
w(t, x)

x l
[u
2
(t
)
u1(t)] u1(t).
(2) u(0,t) u1(t), ux (l,t) u2 (t); w(x,t) u2 (t)x u1 (t).
(3) ux (0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t); w(x,t) u1(t)x u2 (t) lu1(t).
u(M 0 ) 2


(x
f x0 )2
(x, y)z0dxdy (y y0 )2
z02
3/2 .
(26)
21
9 求解上半平面 y 0内的狄利克雷问题
u xx u yy 0 ( y 0), u | y0 f (x), x ,
(4) ux (0,t) u1(t),
ux (l,t) u2 (t);
w( x, t )

u2
(t) u1 (t) 2l
x2

u1 (t)x.
以上4种辅助函数的情形对一维波动方程和一维热 传导方程都适用。
注意特殊情形：课件中2.5节的例
2’
3
第2章主要内 容 2.对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言： ● 对圆域采用极坐标 ● 对于矩形域 0 x a, 0 y b;采用直角坐标系
第2章主要内 (适用有界区域、两个变量) 容 1.对一维波动方程和热传导方程的定解问题而言：
分离变量法、固有函数法、 作辅助函数法
方程和边界 条件齐次
方程非齐次， 定解条件齐次
边界条件非齐次
1
几种常见的固有函数系的形式
(1) u(0,t) 0, u(l,t) 0; (2) u(0,t) 0, ux (l,t) 0;
u xx u yy u zz 0 (z 0),
(22)
u |z0 f (x, y), x, y , (23)
上半空间的格林函数为
G(M , M 0 )
1
4
1 rMM0
1 rMM1
,
(24)
得到定解问题(22)(23)的解
1
sa
s
3.
L[t n ]

n! s n1
4.
a L[sin at]
s2 a2
s L[cosat]
s2 a2
5.
L1[F (s)est0 ] f (t t0 )
(t t0 )
延迟定理的 逆变换形式
14
第4章主要内容
二维、三维拉普拉斯方程边值问题
1 二维、三维拉普拉斯方程的基本解分别为
17
5 利用极值原理证明拉普拉斯方程或泊松方程 狄利克雷问题解的唯一性。
补充：学会结合极值原理和狄利克雷问题解的唯 一性处理问题（例如格林函数性质5、 习题四第8题等）
6 如果三维拉普拉斯方程的狄利克雷问题
u(x, y, z) 0, (x, y, z) ,
u | f (x, y, z)
9
第5章主要内容
3. 傅里叶-贝塞尔级数
f
(r)



Cm J n
m1

(n) m R
r ,
(42)
其中系数 Cm 由下式确定
Cm
R 0
rf
(r)J n

(n) m R
r dr
.
R2 2
J
2 n1
(
(n) m
)
(43)
4. 贝塞尔函数的应用(分离变量法)，书上例子
( )d.
(18
2
2a xat
其中方程(3)的通解形式为
)
u(x,t) f (x at) g(x at).
(13
行波法或达朗贝尔解法
)
11
第3章主要内容
2 无限长弦强迫振动问题
utt a 2uxx f (x, t) ( x , t 0), (1)