nπ at nπ at nπ x u( x, t ) = ∑( A cos l + Bn sin l )sin l ∞ n =1 A sin nπx ϕ( x) n∑ n l =
代入初始条件得： ∞
ϕ( x) ∈C3,ψ ( x) ∈C2 定理：若在区间 [0, l] 上， ，且 定理
ϕ(0) = ϕ(l ) = ϕ"(0) = ϕ"(l ) = 0, ψ (0) =ψ (l ) = 0
第三章 分离变量法
分离变量法是求解线性偏微分方程定解问 题的普遍方法之一， 题的普遍方法之一，它适用于各种类型的 偏微分方程。 偏微分方程。基本思想是将多元函数化为 单元函数， 单元函数，将偏微分方程化为常微分方程 进行求解。具体做法是： 进行求解。具体做法是：首先求出具有变 量分离形式且满足边界条件的特解， 量分离形式且满足边界条件的特解，然后 由叠加原理作出这些解的线性组合， 由叠加原理作出这些解的线性组合，最后 由其余的定解条件确定叠加系数。 由其余的定解条件确定叠加系数。 由于要将满足齐次偏微分方程和齐次边界 条件的解通过变量分离, 条件的解通过变量分离, 将其转化为常微 分方程的定解问题. 为此， 分方程的定解问题. 为此，我们首先给出 二阶线性常微分方程求解公式。 二阶线性常微分方程求解公式。
λ l = nπ
n2π 2 即： λ = , n = 1 2,3,… ， … 2 l nπ 而 X( x) = C2sin x, n = 1,2,L l
再求解T：
nπ Tn (t ) + a 2 Tn (t ) = 0 l 其解为
2 2 " 2
所以
nπat Tn(t ) = A cos l n
nπat + Bn sin l
f (t ) =
1 a0 2
+
L −L
L
∑
∞
nπ t (an cos L n=1
nπ t L
nπ t + bn sin L )
1 an = L
1 bn = L
∫
∫
f (t ) cos
f (t ) sin
dt ,
−L
nπ t L
dt
1. 有界弦的自由振动
例1. 研究两端固定均匀的自由振动. 定解问题为：
X'(0)T(t ) = 0 X'(l )T(t ) = 0 T'' 引入参数 λ 得
化简:
X'' = a2T X X'(0) = X'(l ) = 0
T''
X'' = = −λ a2T X
分离变量：
T'' + λa2T = 0
X'' + λX = 0 ' X (0) = X'(l ) = 0
l2
n = 0,1,2,L
所以 (x),ψ(x)展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 将ϕ 1 Bt 2l nπξ u0( x, t )0= A0l+(ξ0dξ A = ϕ = ∫0ϕ ) An = ϕn = ∫0ϕ(ξ )cos dξ 0
l l nπ at nπat l nπ x un( x, t ) = ( An cos n= + Bn sin 2 )lcos 1l nπξ 1,2,L l l B0 =ψ0 = ∫0ψ (ξ )dξ Bn = l ∫0ψ (ξ )cos dξ l nπa l 故 ∞ nπat nπat nπ x u( x, t ) = A0 + B0t + ∑ ( An cos )cos + Bn sin l l l n=1
两端 固定 弦本 的征 振动
nπ at nπ at nπ x un( x, t ) = ( An cos l + Bn sin l )sin l
叠加
n = 1,2,3,…
u( x, t ) = ∑( A cos n
n=1
∞
nπ at l
+ Bn sin
nπ at nπ x )sin l l
…….⑤ .
为给定的函数. 其中 f ( x ) 为给定的函数.
令
u( x, t ) = X( x)T(t )
X'' + λX = 0 X(0) = 0 特征值问题 ' X (l ) = 0
代入方程及边界条件中, 代入方程及边界条件中, 并引入参数 λ 得
T' + λa2T = 0
当 λ < 0或 λ = 0时, X(x) ≡ 0 当λ > 0时, X( x) = C1 cos λ x + C2 sin λ x 由边界条件
∂ 2u ∂ 2u 2 0< x<l = 0, 2 −a 2 ∂t ∂x t>0 u x = 0 = 0, u x = l = 0, ∂u u t =0 = ϕ ( x ), = ψ ( x ), 0 < x < l ∂t t = 0
特点: 方程齐次, 边界齐次.
设 u( x, t ) = X( x)T(t ) 且u( x, t )不恒为零，代入 方程和边界条件中得
XT'' − a2 X''T = 0… … … ① … … …
由 u( x, t )不恒为零，有：
X'' ( x) T'' (t ) = 2 X( x) a T(t )
取参数
λ
T X = = −λ 2 aT X
''
''
X ( x) + λX( x) = 0L L ② L L
''
..…….. ③ .. .. T + λa T = 0 …..
'' 2
利用边界条件
X(0)T(t ) = 0 … … … ④ … … … X(l )T(t ) = 0
④ 成立 ⇔ X(0) = 0, X(l ) = 0
nπ ∑ Cn sin x = f (x) n=1 l
所以系数
2l nπ Cn = ∫ f ( x )sin xdx l0 l
分 离 变 量 流 程 图
u( x, t )
n2π 2a2t − ∞ nπ l2 = ∑ Cne sin l n=1
x
叠加, 将 un ( x, t )叠加, 利用初始条件确定系数
u ( x, t ) = ∑ Cne
n=1
∞
naπ − t l
2
nπ sin x l
代入上式，得 代入上式，
将初始条件
∞
u ( x, 0) = f ( x)
个极值点，则当x是连续点时， 个极值点，则当x是连续点时，级数收敛 于该点的函数值； 是间断点时， 于该点的函数值；当x是间断点时，级数 收敛于该点左右极限的平均值。
1
π
1
π
傅立叶级数推广
若函数f(t)的周期为T=2L， 若函数f(t)的周期为T=2L，则傅里 f(t)的周期为T=2L 叶展开式为
预 备 知 识
二阶线性常系数齐次微分方程的一般形式为 y”+ p y’+q y = 0 特征方程： 特征方程： r2 + p r +q = 0 特征根： 特征根： r1 和 r2 . 当 r1 ≠ r2 都是实根时，其通解为 都是实根时， y(x) = A exp(r1x) + B exp(r2x) r1 、r2是两个相等的实根时，其通解为 是两个相等的实根时， y(x) = A exp(r x) + B x exp(r x) r1,2=α±iβ是一对共轭复根时,其通解为 ± 是一对共轭复根时, y(x) =exp(αx)(A cosβx + Bsinβx)
则无穷级数解
u( x, t ) = ∑( An cos nπat + Bn sin nπat )sin nπ x l l l
为如下混合问题的解
n=1
∞
utt − a 2 uxx = 0 0< x<l u x=l = 0 u x =0 = 0 0< x<l u t =0 = ϕ ( x ) u 0< x<l t t =0 = ψ ( x )
−λ x
+ C2e
− −λ x
−λl
=0
C1 =C 2=0 从而 X( x) ≡ 0， < 0无意义. λ
(ii) λ = 0 时，通解 X( x) = C1x + C2 由边值条件
C2 = 0 C1l + C2 = 0
C1 = C2 = 0 ⇒ X( x) ≡ 0, λ = 0 无意义
(iii） > 0时，通解 X( x) = C1 cos λx + C2 sin λx λ 由边值条件： C1 = 0 C2sin λl = 0 得 C2 ≠ 0, 从而 sin λ l = 0 故
n=1 ∞ ∑ Bn nπa sin nπx =ψ ( x) 定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x＝0 ＝ l l n=1 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的。 = 将 ϕ( x),ψ ( x) 展开为Fourier级数，比较系数得
l A = ϕn = 2 ∫0ϕ(ξ )sin nπξ dξ n l l l 2 l ( )sin nπξ d ξ Bn = naπ ψn = naπ ∫0ψ ξ l
(i) λ < 0 时， X( x) = C1e 由边值条件
−λ x
+ C2e−
−λ x
− λ(C1 − C2 ) = 0 − λ(C1e −λl − C2e−