高中数学函数的单调性与导数测试题(附答案)选修2-21.3.1函数的单调性与导数一、选择题1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则f(x)为R上增函数的充要条件是()A.b2-4ac0 B.b0,c0C.b=0,c D.b2-3ac0[答案] D[解析]∵a0,f(x)为增函数,f(x)=3ax2+2bx+c0恒成立,=(2b)2-43ac=4b2-12ac0,b2-3ac0.2.(2009广东文,8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是() A.(-,2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2,+)[答案] D[解析]考查导数的简单应用.f(x)=(x-3)ex+(x-3)(ex)=(x-2)ex,令f(x)0,解得x2,故选D.3.已知函数y=f(x)(xR)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率k =(x0-2)(x0+1)2,则该函数的单调递减区间为()A.[-1,+) B.(-,2]C.(-,-1)和(1,2) D.[2,+)[答案] B[解析]令k0得x02,由导数的几何意义可知,函数的单调减区间为(-,2].4.已知函数y=xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是()[答案] C[解析]当01时xf(x)0f(x)0,故y=f(x)在(0,1)上为减函数当x1时xf(x)0,f(x)0,故y=f(x)在(1,+)上为增函数,因此否定A、B、D故选C.5.函数y=xsinx+cosx,x(-)的单调增区间是()A.-,-2和0,2B.-2,0和0,2C.-,-2,D.-2,0和[答案] A[解析]y=xcosx,当-x2时,cosx0,y=xcosx0,当02时,cosx0,y=xcosx0.6.下列命题成立的是()A.若f(x)在(a,b)内是增函数,则对任何x(a,b),都有f(x)0B.若在(a,b)内对任何x都有f(x)0,则f(x)在(a,b)上是增函数C.若f(x)在(a,b)内是单调函数,则f(x)必存在D.若f(x)在(a,b)上都存在,则f(x)必为单调函数[答案] B[解析]若f(x)在(a,b)内是增函数,则f(x)0,故A错;f(x)在(a,b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系,故C错;f(x)=2在(a,b)上的导数为f(x)=0存在,但f(x)无单调性,故D错.7.(2019福建理,11)已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x0时,f(x)0,g(x)0,则x0时()A.f(x)0,g(x) B.f(x)0,g(x)0C.f(x)0,g(x) D.f(x)0,g(x)0[答案] B[解析]f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反),x0时,f(x)0,g(x)0. 8.f(x)是定义在(0,+)上的非负可导函数,且满足xf(x)+f(x)0,对任意正数a、b,若ab,则必有()A.af(a)f(b) B.bf(b)f(a)C.af(b)bf(a) D.bf(a)af(b)[答案] C[解析]∵xf(x)+f(x)0,且x0,f(x)0,f(x)-f(x)x,即f(x)在(0,+)上是减函数,又0<a<b,af(b)bf(a).9.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f(x)0,则必有()A.f(0)+f(2)2f(1) B.f(0)+f(2)2f(1)C.f(0)+f(2)2f(1) D.f(0)+f(2)2f(1)[答案] C[解析]由(x-1)f(x)0得f(x)在[1,+)上单调递增,在(-,1]上单调递减或f(x)恒为常数,故f(0)+f(2)2f(1).故应选C.10.(2019江西理,12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S(t)的图像大致为[答案] A[解析]由图象知,五角星露出水面的面积的变化率是增减增减,其中恰露出一个角时变化不连续,故选A.二、填空题11.已知y=13x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数,则b的范围为________.[答案]b-1或b2[解析]若y=x2+2bx+b+20恒成立,则=4b2-4(b+2)0,-12,由题意b<-1或b>2.12.已知函数f(x)=ax-lnx,若f(x)>1在区间(1,+)内恒成立,实数a的取值范围为________.[答案]a1[解析]由已知a>1+lnxx在区间(1,+)内恒成立.设g(x)=1+lnxx,则g(x)=-lnxx2<0(x>1),g(x)=1+lnxx在区间(1,+)内单调递减,g(x)<g(1),∵g(1)=1,1+lnxx<1在区间(1,+)内恒成立,a1.13.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________.[答案](-,-1)[解析]函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(2,+)(-,-1),令f(x)=x2-x-2,f(x)=2x-10,得x12,函数y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-,-1).14.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是____________.[答案][3,+)[解析]y=3x2-2ax,由题意知3x2-2ax0在区间(0,2)内恒成立,即a32x在区间(0,2)上恒成立,a3.三、解答题15.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).(1)求a、b的值;(2)讨论函数f(x)的单调性.[解析](1)求导得f(x)=3x2-6ax+3b.由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f(1)=-12,即1-3a+3b=-113-6a+3b=-12,解得a=1,b=-3.(2)由a=1,b=-3得f(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3).令f(x)0,解得x-1或x3;又令f(x)0,解得-13.所以当x(-,-1)时,f(x)是增函数;当x(3,+)时,f(x)也是增函数;当x(-1,3)时,f(x)是减函数.16.求证:方程x-12sinx=0只有一个根x=0.[证明]设f(x)=x-12sinx,x(-,+),则f(x)=1-12cosx>0,f(x)在(-,+)上是单调递增函数.而当x=0时,f(x)=0,方程x-12sinx=0有唯一的根x=0.17.已知函数y=ax与y=-bx在(0,+)上都是减函数,试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.[分析]可先由函数y=ax与y=-bx的单调性确定a、b的取值范围,再根据a、b的取值范围去确定y=ax3+bx2+5的单调区间.[解析]∵函数y=ax与y=-bx在(0,+)上都是减函数,a <0,b<0.由y=ax3+bx2+5得y=3ax2+2bx.令y>0,得3ax2+2bx>0,-2b3a<x<0.当x-2b3a,0时,函数为增函数.令y<0,即3ax2+2bx<0,x<-2b3a,或x>0.在-,-2b3a,(0,+)上时,函数为减函数.18.(2019新课标全国文,21)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.(1)若a=12,求f(x)的单调区间;(2)若当x0时f(x)0,求a的取值范围.[解析](1)a=12时,f(x)=x(ex-1)-12x2,f(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).当x(-,-1)时,f(x)0;当x(-1,0)时,f(x)0;当x(0,+)时,f(x)0.故f(x)在(-,-1],[0,+)上单调递增,在[-1,0]上单调递减.(2)f(x)=x(ex-1-ax).令g(x)=ex-1-ax,则g(x)=ex-a.若a1,则当x(0,+)时,g(x)0,g(x)为增函数,而g(0)=0,从而当x0时g(x)0,即f(x)0.教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分,我常采用范读,让幼儿学习、模仿。
如领读,我读一句,让幼儿读一句,边读边记;第二通读,我大声读,我大声读,幼儿小声读,边学边仿;第三赏读,我借用录好配朗读磁带,一边放录音,一边幼儿反复倾听,在反复倾听中体验、品味。
当a1,则当x(0,lna)时,g(x)0,g(x)为减函数,而g(0)=0,从而当x(0,lna)时g(x)0,即f(x)0.语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。
久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。
综合得a的取值范围为(-,1].。