数，也不是减函数”)。
理解训练：
求函数 y 3x2 3x 的单调区间。
解: y 6x 3

6x 3 0, x 1 ,单调增区间为(1 ,);
2
2
6x 3 0, x 1 ,单调减区间为(, 1).
2
2
变1：求函数 y 3x3 3x2 的单调区间。
解 : y 9x2 6x
9x2 6x 0, x 2 或x 0,单调增区间为(,0) ( 2 ,);
3
Hale Waihona Puke 39x2 6x 0,0 x 2 ,单调减区间为(0, 2).
3
3
巩固训练：
变2：求函数
y

3e
x


3
x
的单调区间。
解 : y 3e x 3
. f ( x1) f ( x2 ) 0也即 y 0
x1 x2
x
(2)若f(x1)>f (x2)，那么f(x)在这个区间 上是减函数 此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即
f ( x1) f ( x2 ) 0也即 y 0
x1 x2
x
2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数.
例2.确定函数 f (x) x2 4x 5 在哪
个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？

解: (1)求函数的定义域
函数f (x)的定义域是(－ ∞,＋∞)
（2）求函数的导数
y
f '(x) 2x 4
（3）令 f ' (x) 0 以及 f ' (x) 0

解: f’(x) =ex-1 当ex-1>0时,解得 x>0.
则函数的单增区间为(0,+∞). 当ex-1<0时,解得x<0.
即函数的单减区间为(-∞,0).
总结：根据导数确定函数的单调性

1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数.
3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.
3e x 3 0, e x 1, x 0, 单调增区间为(0,);
3e x 3 0, e x 1, x 0, 单调减区间为(,0);
1
变3：求函数 y 的单调区间。
x
解
:
y

(
1 x
)


1 x2

1 x2
0, x不存在,无单调增区间;

1 x2
(1) y x 3 2x2 x;
(2) y x ln x;
(3) y ex x 1.
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然 可 行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的y=x2－4x＋3图象来考 察单调性与导数有什么关系：
求自变量x的取值范围，也即函数的单调区间。
2
令2x－4>0,解得x>2
o
x
∴x∈(2,＋∞)时， f ( x) 是增函数
令2x－4<0,解得x<2
∴x∈(-∞,2)时， f ( x) 是减函数
例4 求函数f(x)=sinx,x∈[0,2π] 的单调区间.
例5 判定函数y=ex-x+1的单调区间.
y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
函数y=x2－4x＋3的图象： y

02
x
单增区间：（２，+∞）.
单减区间：(－∞，２).
例2：讨论函数 y

x

1
的单调性。
y
x

2
-1
01
-2
x
单增区间：(-∞，-1)和 （1，+∞）. 单减区间：(-1，0）和 （0，1）.
那么如何求出下列函数的单调性呢?
=（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2）
= (x1－x2)(x1+x2－4）
则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)，
那么 y=f(x)单调递减。
当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)， 那么 y=f(x)单调递增。
综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞）
(1)设x1、x2是给定 区 间的任意两个 值，且x1< x2.
(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形.
(3)判断差的符号(与０比较)，从而 得函数的单调性.
例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
解：取x1<x2∈R，

f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3）
知识应用 1．应用导数求函 数的单调区间 基础训练：
(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为
___增___函数(填“增”或“减”)。
(2)．函数 y = x2－3x 在[2,+∞)
上为___增___函数，在(-∞,1]上为_减__
函数，在[1,2]上为既又不不是是增减函函数数 函数
(填“增”或“减”或“既不是增函
0, x
0或x 0,
单调减区间为(,0) (0,)
2．应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时， f'( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0; 当x 3或x 2时，f '( x) 0.

复习引入：
问题1：怎样利用函数单调性的定义 来讨论其在定义域 的 单调性
1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如
果对于属于这个区间的任意两个自变量的值
x1，x2，当x1<x2时，
(1)若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个区间
上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即
增函数时有
f ( x1) f ( x2 ) 0也即 y 0
x1 x2

x
减函数时有
f ( x1) f ( x2 ) 0也即 y 0
x1 x2
x
这表明：导数的正、负与函数的单调性密 切相关
再观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
0
....2
.. .
总结:该函数在区间
（－∞，2）上单减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,在区间（2，
+∞）上单增,切线斜
率大于0,即其导数为
正.而当x=2时其切线
x
斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发
生改变.
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间

如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.