(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．f(x)，g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若F(a)＝b，则F(－a)＝( )A．－b＋4 B．－b＋2C．b－4 D．b＋2解析：∵函数f(x)，g(x)均为奇函数，∴f(a)＋f(－a)＝0，g(a)＋g(－a)＝0，∴F(a)＋F(－a)＝3f(a)＋5g(a)＋2＋3f(－a)＋5g(－a)＋2＝4，∴F(－a)＝4－F(a)＝4－b.答案：A2．函数y＝lg(21＋x－1)的图象关于( )A．x轴成轴对称图形B．y轴成轴对称图形C．直线y＝x成轴对称图形D．原点成中心对称图形解析：函数y＝f(x)＝lg(21＋x －1)＝lg1－x1＋x∴函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)又∵f(－x)＝lg 1＋x 1－x＝－lg 1－x1＋x＝－f(x)∴y＝lg(21＋x－1)为奇函数．∴其图象关于原点成中心对称图形．答案：D3．若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上是( ) A．增函数且最小值是－5B．增函数且最大值是－5C．减函数且最大值是－5D．减函数且最小值是－5解析：奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性，因此函数在区间[－7，－3]上单调递增，最小值是f (－7)＝－f (7)＝－5.答案：A4．设函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则xf (x )<0的解集是( )A ．{x |－3<x <0或x >3}B ．{x |x <－3或0<x <3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3} 解析：由xf (x )<0得⎩⎪⎨⎪⎧x <0fx >0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，fx <0，而f (－3)＝0，f (3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <0f x >f －3或⎩⎪⎨⎪⎧x >0f x <f 3，因为函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数， 所以函数在(－∞，0)内也是增函数， 故得－3<x <0或0<x <3. 答案：D5．(2011·合肥模拟)设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f (x ＋1x ＋4)的所有x 之和为( )A ．－92B ．－72C ．－8D ．8解析：∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f (x ＋1x ＋4) ∴f (|2x |)＝f (|x ＋1x ＋4|) 又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝|x ＋1x ＋4|， 即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 2)＝－72＋(－92)＝－8.答案：C6．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2010)的值为( )A．2 B．0C．－2 D．±2解析：由g(x)＝f(x－1)，得g(－x)＝f(－x－1)，又g(x)为R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)．∴f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(x－1)＝－f(－x－1)．用x＋1替换x，得f(x)＝－f(－x－2)，又f(x)是R上的偶函数，∴f(x)＝－f(x＋2)．∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期为4.∴f(2010)＝f(4×502＋2)＝f(2)＝2.答案：A二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.解析：由题意知，f(1)＋f(－1)＝0，即2(1＋a)＋0＝0，∴a＝－1.答案：－18．(2011·银川模拟)已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如右图所示，那么不等式xf(x)<0的解集为________．解析：当0<x<3时，由图象知，满足xf(x)<0的解为：0<x<1，由奇函数的对称性可求．答案：(－1,0)∪(0,1)9．(2010·重庆高考)已知函数f(x)满足：f(1)＝14，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 010)＝________.解析：依题意得4f(1)f(0)＝f(1)＋f(1)，f(0)＝2f(1)＝1 2；f(n＋1)＋f(n－1)＝4f(n)f(1)＝f(n)，所以f(n＋1)＝f(n)－f(n－1)，记a n ＝f (n )(其中n ∈N *)，则有a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a n ＋2＝a n ＋1－a n ＝－a n －1，a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝－a n ，a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，故数列{a n }的项以6为周期重复出现．注意到2 010＝6×335，因此有a 2 010＝a 6 ＝f (0)＝12，即f (2 010)＝12.答案：12三、解答题(共3小题，满分35分) 10．判断下列函数的奇偶性，并说明理由． (1)f (x )＝x 2－|x |＋1，x ∈[－1,4]； (2)f (x )＝(x －1)1＋x1－x ，x ∈(－1,1)； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x1－x ， x <0，x 1＋x， x >0.解：(1)由于f (x )＝x 2－|x |＋1，x ∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f (x )是非奇非偶函数．(2)∵f (x )＝(x －1) 1＋x1－x，易知f (x )的定义域为－1<x <1，关于原点对称． 又f (－x )＝(－x －1) 1－x1＋x ＝－(x ＋1) 1－x1＋x ＝－ 1＋x 21－x 1＋x ＝－1＋x1－x ＝－ 1＋x1－x21－x ＝－(1－x )1＋x1－x＝(x －1)1＋x1－x， ∴f (－x )＝f (x )． ∴f (x )是偶函数． (3)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x ， x <0，x1＋x ， x >0.的定义域关于原点对称，当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝(－x )[1－(－x )] ＝－x (1＋x )＝－f (x )(x >0)． 当x <0时，－x >0，∴f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)(x<0)．∴f(－x)＝－f(x)．∴f (x )为奇函数．11．设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．解：由f (m )＋f (m －1)>0，得f (m )>－f (m －1)，即f (1－m )<f (m )．又∵f (x )在[0,2]上单调递减且f (x )在[－2,2]上为奇函数， ∴f (x )在[－2,2]上为减函数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2－2≤m ≤21－m >m即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3－2≤m ≤2，m <12解得－1≤m <12.12．定义在[－1,1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1,0]时，f (x )＝14x －a2x (a ∈R)．(1)写出f (x )在[0,1]上的解析式； (2)求f (x )在[0,1]上的最大值；(3)若f (x )是[0,1]上的增函数，求实数a 的取值范围. 解：(1)设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]，f (－x )＝14－x －a 2－x ＝4x －a ·2x， ∴f (x )＝a ·2x－4x，x ∈[0,1]． (2)∵f (x )＝a ·2x －4x，x ∈[0,1]， 令t ＝2x，t ∈[1,2]，∴g (t )＝a ·t －t 2＝－(t －a2)2＋a 24.当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1； 当1<a2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g (a 2)＝a 24；当a2≥2，即a≥4时，g(t)max＝g(2)＝2a－4.综上：当a≤2时，f(x)的最大值为a－1，当2<a<4时，f(x)的最大值为a2 4，当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4.(3)因为函数f(x)在[0,1]上是增函数，所以f′(x)＝a ln2·2x－ln4·4x＝2x ln2(a－2·2x)≥0恒成立，即a－2·2x≥0恒成立，a≥2·2x恒成立．∵2x∈[1,2]，∴a≥4.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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