函数的奇偶性与周期性
考点梳理
一、函数的奇偶性
（探究：奇、偶函数的定义域有何特点？若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称，反之，若函数的定义域不关于原点对称，则函数无奇偶性。
）
二、奇、偶函数的性质
1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
2、在公共定义域内，
（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数。
（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数。
（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。
3、若f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0。
（探究：若f(x)是偶函数且在x=0处有定义，是否有f(x)=0?不一定，
如f(x)= 21x +，而f(0)=1。
）
三、函数的周期性
一般的，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
（探究：若偶函数f(x)满足对任意的x R ∈,都有f(2+x)=f(-x)，那么函数f(x)是周期函数吗？
是周期函数，()()(),(2)()
(2)(),()=2f x f x f x f x f x f x f x f x T ∴-=+=-∴
+= 是偶函数，
又所以是以为周期的函数）
例题解析 要点1：函数奇偶性的判定
判断函数奇偶性的一般方法
（1）首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称，否则，既不是奇函数也不是偶函数。
（2）若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断： ①定义判断：
()()()()-()()f x f x f x f x f x f x -=⇔-=⇔为偶函数，
为奇函数。
②等价形式判断：
()()0()()+()0()()1,()()
()
-1,()()f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x --=⇔-=⇔-=-=为偶函数，
为奇函数。
或等价于：则为偶函数；
则为奇函数。
（3）对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行。
例1（2010广东高考）
()33()33()()()()()()()()x x x x
f x
g x R f x g x f x g x f x g x f x g x --=+=-若函数与的定义域均为，则 （ ）
A.与均为偶函数
B.为奇函数，为偶函数
C.与均为奇函数
D 为偶函数，为奇函数
即使训练：判断下列函数的奇偶性
21
1212((3)()x x f x -+
=+(1)f(x)=x(+);
(2)f(x)=log
要点2：函数图像的对称与函数的周期性
如果奇偶性是讲函数图像的对称，那么函数的周期性就是讨论函数图像的平移，而函数图像的对称与函数的周期性也是密不可分的，比如：若函数f(x)的图像关于直线x=a,x=b(a b ≠)对称，则f(x)为周期函数，其周期为T=2（b-a ）等。
例2：
()-+(2)(2),
(7)(7),(1)(3)0.
(1)()(2)()=0[2005,2005]f x f x f x f x f x f f y f x f x ∞∞-=+-=+=
==-设函数在（，）上满足且在闭区间[0,7]上只有试判断函数的奇偶性；
试求方程在闭区间上的根的
个数，并证明你的结论。
即使训练：
3()()(),(1)
(1),[1,1](),(2009)-R f x f x f x f x f x x f x x f -=-+=-∈-=-定义在上的函数y =满足当时，则的值
是 （ ）
A 1
B 0
C 1
D 2
要点3：函数奇偶性的综合应用
1、对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f ”脱掉，转化为我们会求的不等式；
2、奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性。
例3：
()()(),()0.
(1)(1)()()(+1)(2)0R f x f f x f y f x f f f x f x f x f x x ∈+-≥--≤定义在上的函数满足对任意x,y R 恒有
(xy)=且不恒为（1）求和的值；
（2）试判断的单调性，并加以证明；
（3）若x 0时，为增函数，求满足不等式
的的取值集合。
即使训练：
2()(2)().[0,2]()=2.
()()(0)+(1)(2).......(2008)f x R f x f x x f x x x f x f x f f f f +=-∈-∈++设是定义在上的奇函数，且对任意实数x ，恒有当时，（1）求证：是周期函数；
（2）当x [2,4]时，求的解析式；
（3）计算。