x
DF1 i BE1 15 15 cos < DF1 , BE1 > = = = 17 i 17 17 | DF1 || BE1 | 15 所以 DF1 与 BE1 所成角的余弦值为
17
方法总结
向量法求异面直线夹角的一般步骤
(1) 恰当的构建空间直角坐标系； 恰当的构建空间直角坐标系； (2) 正确求得所对应点的坐标，空 正确求得所对应点的坐标， 间向量的坐标表示及其数量积； 间向量的坐标表示及其数量积； (3) 代入空间向量的夹角公式， 代入空间向量的夹角公式， 求得其余弦值； 求得其余弦值； (4) 根据题意，转化为几何结论. 根据题意，转化为几何结论
D(0, 0, 0), F1 (0,1, 4) B(4, 4, 0), E1 (4,3, 4)
所以： DF1 = (0,1, 4)
BE1 = (0, −1, 4)
D1 A1 D A
F1
C1 E1 B1
C
| DF1 |= 17
| BE1 |= 17
y
B
DF1 i BE1 = 0 × 0 + 1× (−1) + 4 × 4 = 15理论分析 Nhomakorabea结论
互补
cos θ
=
| ABiCD | | cos < AB, CD >|= | AB || CD |
应用举例
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E1、 F1分别为A1B1，C1D1的一个四等分 点，求DF1与BE1所成角的余弦值。
D1 A1 D A B F1 E1 B1 C1
C
解：以点D为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 DD1 = 4 则： z
1、必做 课本P98 5、10 2、选做 练习册P76 变式训练4
能力提升
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 点E、F分别为BB1，D1B1的中点， 求证 EF ⊥ DA1
D1 F A1 B1 E C C1
D A
B
E A D
(0,0,0)
B C
(0,2,0) y
3.求出 | AF | 、BE | 、DB1 |。 | | 3
6
2 3
(2,0,0)
x
π θ 异面直线所成角的范围： ∈ 0, 2 思考： 思考： C D < AB, CD > 与θ的关系？ D1 A θ 相等 α B < AB, DC > 与θ的关系？
强化巩固
在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M是AB 的 中 点 , 求 对 角 线 DB1 与 CM 所 成角的余弦值.
D1 C1 A1 D B1
C
A M
B
课堂小结
向量方法求异面直线的夹角
cos θ
=| cos < AB, CD >| | ABiCD | = | AB || CD |
课后作业
向量方法 求异面直线的夹角
温故知新
1.若a = (a1 , a2 , a3 )， = (b1 , b2 , b3 ), 则： b
a 数量积： 数量积： ⋅ b
=| a | ⋅ | b | ⋅ cos < a , b >
= a1b1 + a2b2 + a3b3
夹角公式
a = a12 + a2 2 + a32
课前热身
1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E 为CD1与C1D的交点，点F为C1D1,如图建立 直角坐标系，写出点A、B、D、E、F、B1 的坐标。 z 2.写出向量 AF、 、 1 BE DB A1 D1 的坐标。 F(1,2,2) (2,0,2) B1 (1,2,2) (-1,2,1) (2,-2,2) C1 (1,2,1)
a1b1 + a2b2 + a3b3 a ⋅b = cos < a ⋅ b > = 2 2 2 2 2 2 | a |⋅| b | a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3
2.若A( x1 , y1 , z1 ), B ( x2 , y2 , z2 )，则：
AB = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )