1
θ= g1 2
当 n 与向量 BA 的夹角为钝角g
2
A
g2
n
θ
β B
θ= g 2 2
C
例1 如图所示,已知正四面体O—ABC， E、F分别是AB、OC的中点。 (1) 求OE与BF所成的角； （2）求BF与平面ABC所成的角。 分析:(1)设 OA = a
OB = b
O
OC = c a b
F E D B C
B
）
(2002年全国高考）
F1 A1 B1 C1 E1
D1
DE1 3 = FE1 又 DF 3 ∴ △FDE1为等边三角形 ∴∠ FE1D= 60°
A
解法2：建立如图所示的直角坐标系。
3 3 ， C1 1, 3, 2 ， D 0, 3,0 ， B , , 0 2 2 1 3 . E1 , , 2 2 2 A1 1 3 1 3 ，DE , , 2 BC1 , 2 . 2 2 1 , 2 2 3 BC1 · DE1 1 , ∴cos BC1 DE1= 2 |BC1| |DE1| 3 2 A
C1
C (0,1,0), A1(1,0,1), B (1,1,0),
D (0,0,0), C1(0,1,1),
F
D A E B
C
y
A1C = (－1,1, －1), C1D = (0, －1, －1),
BD =(－1, －1, 0)
A1C⊥平面BDC1
x
A1C · C1D = 0－1+1 =0 A1C ⊥ C1D A1C · BD = 1－1+0 =0 A1C ⊥ BD C1D∩ BD=D
－g
两个平面的法向量同时指向或背离。
n1
a
l
g n 2
b

n1
g
a
l

n2
b
设 n1 , n2 = g
设a —l —b的平面 角为
g
g
两个平面的法向量一个指向另一个背离。
a
n1

l
n2
b
例1 如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1 中,AC与BD交于点E, C1B与CB1交于点F. z (1) 求证：A1C⊥平面BDC1 D1 (2) 求二面角B—EF—C的大小 (结果用反三角函数表示) B 1 A 1 证明:(1)以点D为坐标原点建立 如图所示的空间直角坐标系,则
A1E =(0,2,1)
设平面A1EC1的法向量为 n = (x,y,z) A ∴
A1E ·n =2y+ z =0
C1E ·n =2x+ z =0
y =1 令 x =1 时，z =－2 ，
∴ n = (1 ,1, －2 ) ∴ D1B ·n = 0 D1B ⊥ n D1B 平面A1EC1
x
A 1
OB = b
O
c a b
C E F
B
1 2
1 OE ·BF 2 cos OE ,BF = | OE | | BF | 3 3 2 2 2 3
∴OE与BF所成的角为
O
c a b
A E C F

2 arccos 2 3
B
（2）求BF与平面ABC所成的角。 (2)作OO’⊥平面ABC于点O’，设OO’与BF所成
OA = a
OC = c 1 c |a |= |b |= |c |= 1 则a· b =c · b =a · 2 1 1 a ( + ) OE b c －b BF 2 2 1 1 · OE · BF = ( a + b ) ( c － b ) 2 2 A 2 1 1 1 c + b· c －a · b－|b | ) ( a· 2 2 2 11 1 1 1 24 4 2
C
2 1 1 1 2 2 a c b c c a b b b c 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 4 4 2 2 2
a
cos OO’,BF
O
c
F
2 2 ∴求BF与平面ABC所成的角 arccos arcsin 2 3 3
1 cos A1C , D1B = | A1C |· | D1B | 3
A1C · D1B
A x
例2.(2001年全国）如图,在底面是直角梯形的四 棱锥S—ABCD中, ∠ABC=90°,SA⊥面ABCD, 1 SA= BC=AB=1, AD . 求面SCD 2 与面SBA所成的二面角的正切值。 解法1：延长BA、CD相交于E, 连接SE,则SE是所求二面角的棱 AD ∥BC EA=AB=SA BC=2 AD SE⊥SB SA⊥面ABCD SA⊥BC BC ⊥AB BC ⊥ 面SEB ∴SB是SC在面SEB上的射影。
故 BC1 , DE1 = 60° ∴ E1D与BC1所成的角是60° 故应选 B
x



z F1 E1
D1
B1 C1
F
E D
B
C
y
一 法向量： 如果一个向量所在直线垂直于平面，则 该向量是平面的一个法向量。 二 法向量的主要作用 1 证明线面平行 取和直线平行的向量，验证该向量和法向量的点积是否为零。 设平面β的法向量为 n , a 是 a 的方向向量.
2 3
2 arccos 3
b
A C

E
O' B
评析:利用向量讨论线面关系不需作辅助线，但需要正确 设出空间向量的基底，再利用多面体的性质算出或找出其它的 向量。
4.法向量的夹角与二面角的平面角的关系
n1
a
l
g n 2
b
g

设 n1 , n2 = g
设a —l —b的平面 角为
2 2 2 2 2 3a 2 h 2 ∴ BE · DE 2 4 2 2 2 3a a h 1 2 2 又|BE| 10 a h 2 2 2 2
3a a h 1 10a 2 h 2 |DE| 2 2 2 2
设平面SCD的法向量 n =(x,y,z) 1 , 1 , 0 DC 2 1 SD ,0,1 A 2 1 n· DC =0 x y 0 即 2 1 n· SD =0 xz 0 2
y
B
C
D
x
1 1 令x=1,则 y ， z 2 2 1 1 ∴ n 1, , 2 2 6 AD ∴cosa= n · |n|· 3 |AD|
2 2 2
a a h E , , 2 2 2 3a a h a 3a h ∴ BE , , DE , , 2 2 2 2 2 2
A x D
E
C
O
B
y
3a a h a 3a h ∴ BE , , DE , , 2
1 求直线和直线所成的角 利用两条直线的方向向量的夹角的余弦 的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。
设异面直线a、b的夹角为θ AB ·CD A C
β
B
a
cosθ = | cos AB , CD| = θ=
|AB | · |CD|
Db
AB , CD
或 θ =π－ AB , CD
[例1] 正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1 的底面边长为1,侧棱长为 2 ,则这个 棱柱的侧面对角线 E1D与BC1所成的角是（ A.90° B. 60° C. 45° D. 30° 解法一： 连结FE1、FD 、BC1 ∴四边形BFE1C1是平行四边形 ∴ FE1∥ BC1 ∴∠ FE1D是异面直线E1D与BC1所成的角或补角 ∵底长为1，棱长为 2
A1
D1
E
C1 O
B1
BD1∥平面A1C1 E
证法二：如图所示建立直角坐标系,且设 正方体的棱长为2, D1(0,0,0), B(2,2,2), A1(2,0,0), C1(0,2,0), E(2,2,1) ∴ D1B =(2,2,2)
z
C1E =(2,0,1)
D B D1 E C1 y B 1 C
A E O' C F
求出 OE ,BF, 然后可求 cos OE
| OE | | BF |
BF所成的角为θ 0 ，则BF与平面ABC所成的角为 2
(2)可过点O作OO’⊥平面ABC于点O’， 若OO’与
B

2

解:(1)设正四面体O—ABC的棱长为1,
解: (2)同（1）可知, D1B⊥平面AB1C 由(1) A1C⊥平面BDC1
z C1
即向量 D1B 是平面AB1C的一个法向量。, D1
A1C 是平面BDC1的一个法向量。
∵ A1C = (－1,1, －1),
A1
B1 F
D y C E B
D1B = (1,1, －1),
1 故二面角B—EF—C的为 arccos 3
O
c
F
b
C O' B
2 1 | OO’| ( a +b + c ) 9 1 2 2 2 ( + |a| |b| +|c| +2 a · b +2 c ·b +2 a · c ) O 9 c 1 2 6 3 3 ∴ | OO’| F 9 3 a 3 OO’ · BF b cos OO’,BF = A | OO’| | BF | O' 1 1 E ( a + b + c )· ( c －b ) B 3 2 = 6 3 3 2 2 1 1 1 2 2 a c b c c a b b b c 3 2 2 2 2