导数的几何意义、曲线的切线方程：一、框架1.命题分析：本题型在高考解答题主要是在第(1)问中出现，也有可能在选择题或填空题中出现，若为解答题，主要考点为：(1)导数的几何意义;(2)直线与函数图象相切的条件。
2.几何意义：函数()x f 在0x 处的导数就是曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即斜率为()0'x f .3.物理意义：函数()s f t =在0t 处的导数就是曲线()s f t =在0t 时刻的速度.4.曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-.5.切线方程的求解方程问题：第一步：判切点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。
切点已知直接求，切点未知设切点；第二步：求斜率（导数）：通常若切点为())(,00x f x ，则在该点处曲线的斜率为()0'x f ；第三步：用公式：所对应的曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-。
6.利用切线方程（或切线的性质）判断参数的值（或取值范围）第一步：求斜率（导数）：求出函数()x f y =在0=x x 处的导数()0'x f ，即函数()x f y =的图象在点())(,00x f x 处切线的斜率；第二步：列关系式：根据已知条件，列出关于参数的关系式； 第三步：求解即可得出结论。
7.注意点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。
切点已知直接求，切点未知设切点。
二、方法诠释类型一：在某点的切线方程例1．求曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程。
解： y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3－2＝1，∴切线方程为y ＝x －1. 类型二：过某点(某点不在曲线上)的切线方程例2．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程． 解：点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0. 综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0. 类型三：过某点(某点在曲线上)的切线方程,例如例3的第(2)问 例3．(1)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 在原点(0,0)处的切线方程。
(2)求过原点(0,0)且与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切的切线方程．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，设切线的斜率为k ，k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x . (2)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x .当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)(x 0≠0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14. 所以所求曲线的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x . 三、巩固训练1.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝02.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－23.设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12C ．－2D ．24.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1eC ．－eD ．e 5.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．46．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 ． 7.曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程是 ．8.已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是 ． 9.已知函数16)(3-+=x x x f ，（1）求曲线)(x f y =在点()62-，处的切线的方程； （2）直线l 为曲线)(x f y =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； （3）如果曲线)(x f y =的某一切线与直线341+-=x y 垂直，求切点坐标与切线的方程.10.已知函数()e cos xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.曲线的切线方程答案：1.∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B. 2.∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.故选D.3.A ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，π2|1.x y ∴'＝＝－由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.4.D [设切点为(x 0，y 0)．由y ′＝e x ，得y ′|x ＝x 0＝e x 0，∴过切点的切线为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，又y ＝kx 是切线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝e x 0，(1－x 0)e x 0＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，k ＝e.]5.答案 B 解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.6.答案12ln 2解析 y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)． ∴三角形面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.7.答案 5x ＋y ＋2＝0 解析 因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.8.设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.9.【解析】（1）∵3(2)22166f =+-=-，∴点()62-，在曲线上. ∵'3'2()(16)31f x x x x =+-=+，∴在点()62-，处的切线的斜率为'2(2)32113k f ==⨯+=. ∴切线的方程为613(2)y x +=-.即1332y x =-.（2）设切点为00(,)x y ，则直线l 的斜率为'200()31k f x x ==+， ∴直线l 的方程为：320000(16)(31)()y x x x x x -+-=+-.又∵直线l 过点(0,0)，∴3200000(16)(31)(0)x x x x -+-=+-，整理得308x =-，∴02x =-，∴026y =-，∴'20(2)3(2)113k f =-=-+=，∴直线l 的方程为13y x =，切点坐标为(2,26)--.（3）∵切线与直线341+-=x y 垂直，∴斜率4k =，∴设切点为00(,)x y ，则'200()314f x x =+=， ∴01x =±，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.即切点坐标为(1,14)-或(1,18)--.故切线方程为144(1)y x +=-或184(1)y x +=+.即418y x =-或414y x =- 10.（1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1x f x x x '=--，(0)0f '=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（2）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin xxh x x x x x x '=---=-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()(0)0h x h =，即()0f x '. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.。