一元二次方程1．（北京模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2． （1）用含p 的代数式表示q ；（2）求证：抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与x 轴有两个交点；（3）设抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 的顶点为M ，与y 轴的交点为E ，抛物线y 2＝x 2＋px＋q ＋1的顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．2．设关于x 的方程x 2－5x －m 2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m 的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．3．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根． （1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．4．（江苏模拟）已知关于x 的方程x 2－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且x 1≤x 2． （1）求证：x 1≤1≤x 2（2）若点A （1，2），B （12，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝54？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．（福建模拟）已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝2x ＋b 有两个实数解⎩⎨⎧x ＝x 1y ＝y 1和⎩⎨⎧x ＝x 2y ＝y 2，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．（1）求b 的取值范围；（2）否存在实数b ，使得1x 1＋1x 2＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．6．（成都某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值范围．7．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3a －1x 2＋y 2＝4a 2－2a ＋2 ，求x y 的取值范围．8．（福建某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2＝a 2(1－x 2)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1＜x 2，求证：－1＜x 1＜0＜x 2＜1．（答案）1．（北京模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2． （1）用含p 的代数式表示q ；（2）求证：抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与x 轴有两个交点；（3）设抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 的顶点为M ，与y 轴的交点为E ，抛物线y 2＝x 2＋px＋q ＋1的顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2 ∴22＋2p ＋q ＋1＝0，整理得：q ＝－2p －5（2）∵△＝p 2－4q ＝p 2－4(－2p －5)＝p 2＋8p ＋20＝(p ＋4)2＋4 无论p 取任何实数，都有(p ＋4)2≥0∴无论p 取任何实数，都有(p ＋4)2＋4＞0，∴△＞0 ∴抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与x 轴有两个交点（3）∵抛物线y1＝x2＋px＋q与抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的对称轴相同，都为直线x＝－p2，且开口大小相同，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1可由抛物线y1＝x2＋px＋q沿y轴方向向上平移一个单位得到∴EF∥MN，EF＝MN＝1∴四边形FEMN是平行四边形由题意得S四边形FEMN＝EF·|－p2|＝2，即|－p2|＝2∴p＝±42．（安徽某校自主招生）设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．解：∵△＝52－4(－m2＋1)＝4m2＋21∴不论m取何值，方程x2－5x－m2＋1＝0都有两个不相等的实根∵x2－5x－m2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m2∵|α|＋|β|≤6，∴α2＋β2＋2|αβ|≤36，即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ|≤36 ∴25－2(1－m2)＋2|1－m2|≤36当1－m2≥0，即－1≤m≤1时，25≤36成立∴－1≤m≤1 ①当1－m2＜0，即m＜－1或m＞1时，得25－4(1－m2)≤36解得－152≤m≤152∴－152≤m＜－1或1＜m≤152②综合①、②得：－152≤m ≤1523．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根． （1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．解：（1）∵x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根∴⎩⎪⎨⎪⎧a －6≠04a 2－4a (a －6)≥0 即⎩⎨⎧a ≠6a ≥0 假设存在实数a 使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立，则4＋(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0 ∴4＋－2a a －6－aa －6＝0，得a ＝24∵a ＝24满足a ≥0且a ≠6∴存在实数a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立 （2）∵(x 1＋1)(x 2＋1)＝(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋1＝－2a a －6＋a a －6＋1＝－aa －6∴要使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数，则只需a 为7，8，9，124．（江苏模拟）已知关于x 的方程x 2－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且x 1≤x 2．（1）求证：x 1≤1≤x 2（2）若点A （1，2），B （12，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝54？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，x 1x 2＝a∴a＝x1x2，b＝x1＋x2－x1x2－1∵b≥0，∴x1＋x2－x1x2－1≥0∴1－x1－x2＋x1x2≤0∴(1－x1)(1－x2)≤0又∵x1≤x2，∴1－x1≥0，1－x2≤0 即x1≤1，x2≥1∴x1≤1≤x2（2）∵x1＋x2＝a＋b＋1，a＋b＝54，∴x1＋x2＝94①当点P（x1，x2）在BC边上运动时则12≤x1≤1，x2＝1∴x1＝94－x2＝94－1＝54＞1故在BC边上不存在满足条件的点P ②当点P（x1，x2）在AC边上运动时则x1＝1，1≤x2≤2取x2＝54，则x1＋x2＝94，即a＋b＝54故在AC边上存在满足条件的点P（1，54）③当点P（x1，x2）在AB边上运动时则12≤x1≤1，1≤x2≤2，易知x2＝2x1∵x 1＋x 2＝94，∴x 1＝34，x 2＝32又∵12＜34＜1，1＜32＜2故在AB 边上存在满足条件的点（34，32）综上所述，当点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动时，在BC 边上没有满足条件的点，而在AC 、AB 边上存在满足条件的点，它们分别是（1，54）和（34，32）5．（福建模拟）已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝2x ＋b 有两个实数解⎩⎨⎧x ＝x 1y ＝y 1和⎩⎨⎧x ＝x 2y ＝y 2，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．（1）求b 的取值范围； （2）否存在实数b ，使得1x 1＋1x 2＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知得4x ＝(2x ＋b )2，整理得4x 2＋(4b －4)x ＋b 2＝0 ∵x 1≠x 2，∴△＞0，即(4b －4)2－16b 2＞0，解得b ＜12又∵x 1x 2≠0，∴b24≠0，∴b ≠0综上所述，b ＜12且b ≠0（2）∵x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b24，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝4(1－b )b 2＝1得 ∴b 2＋4b －4＝0，解得b ＝－2±22∵－2＋22＝2(2－1)＞12，∴b ＝－2＋22不合题意，舍去∴b ＝－2－226．（成都某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值范围．解：∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，∴a ，b ，c 都不为零，且a ＋b ＝－c ，ab ＝8c∴a ，b 是方程x 2＋cx ＋8c＝0的两个实数根∴△＝c 2－4×8c≥0当c ＜0时，c 2－4×8c≥0恒成立当c ＞0时，得c 3≥32，∴c ≥342 故c 的取值范围是c ＜0或c ≥3427．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3a －1x 2＋y 2＝4a 2－2a ＋2，求x y 的取值范围．解：∵(x －y )2≥0，∴x 2＋y 2≥2x y ∴2(x 2＋y 2)≥(x ＋y )2∴2(4a 2－2a ＋2)≥(3a －1)2即a 2－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3 ∵x y ＝12[(x ＋y )2－(x 2＋y 2)]＝12[(3a －1)2－(4a 2－2a ＋2)]＝12(5a2－4a－1)＝52(a－25)2－910∴当a＝25时，x y有最小值－910；当a＝3时有最大值16∴－910≤x y≤168．（福建某校自主招生）已知方程(ax＋1)2＝a2(1－x2)（a＞1）的两个实数根x1、x2满足x1＜x2，求证：－1＜x1＜0＜x2＜1．证明：将原方程整理，得2a2x2＋2ax＋1－a2＝0令y＝2a2x2＋2ax＋1－a2，由于a＞1当x＝0时，y＝1－a2＜0，∴原方程有一个正根和一个负根又∵x1＜x2，∴x1＜0＜x2又当x＝1时，y＝2a2＋2a＋1－a2＝(a＋1)2＞0当x＝－1时，y＝2a2－2a＋1－a2＝(a－1)2＞0∴－1＜x1＜0＜x2＜1。