一元二次方程1.（北京模拟)已知关于x 得一元二次方程x 2+px ＋q +1＝０有一个实数根为2. (１)用含p 得代数式表示ｑ;(2）求证:抛物线y 1＝x 2+ｐx +q 与x 轴有两个交点;（3)设抛物线y 1=x ２＋ｐx +q 得顶点为M ,与y 轴得交点为E ,抛物线ｙ2＝ｘ2+px ＋q ＋1得顶点为N ,与y 轴得交点为F ,若四边形FEM Ｎ得面积等于２,求p 得值.2．设关于x 得方程x ２－5x －ｍ２＋1＝0得两个实数根分别为α、β,试确定实数ｍ得取值范围,使｜α|＋|β｜≤6成立.３．（湖南怀化)已知x 1,x 2就是一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a ＝０得两个实数根.（1）就是否存在实数a ,使-x １＋x １x ２=4＋ｘ2成立？若存在,求出a 得值；若不存在,请您说明理由;(2)求使(x 1+１)(x 2＋1)为负整数得实数ａ得整数值.4.(江苏模拟)已知关于ｘ得方程ｘ2-(a +ｂ+１）x ＋a ＝0（ｂ≥0)有两个实数根x 1、x ２,且ｘ1≤ｘ2.(1)求证:x 1≤1≤x 2 (2)若点A (1，２),B (＼F （1,２),1),C (1,1),点P (x 1，x 2)在△ＡBC 得三条边上运动,问就是否存在这样得点Ｐ,使a ＋b ＝54若存在，求出点P 得坐标;若不存在,请说明理由．５.(福建模拟)已知方程组错误!有两个实数解错误!与错误!，且x １x 2≠0，ｘ1≠x 2. (1)求ｂ得取值范围；(２）否存在实数b ,使得1x １＋错误!=１？若存在,求出b 得值;若不存在，请说明理由.6．(成都某校自主招生)已知a ，b ,c 为实数,且满足a +b +c =0,abc ＝8,求ｃ得取值范围. ７.(四川某校自主招生)已知实数ｘ、y 满足错误! ，求x y 得取值范围.8.（福建某校自主招生）已知方程(a ｘ＋1）2＝ａ2（1－x 2)(a >1)得两个实数根ｘ1、x 2满足x 1＜x 2，求证: -1＜x 1＜0＜x 2＜1.(答案)１.(北京模拟)已知关于ｘ得一元二次方程ｘ2＋px ＋q ＋１=0有一个实数根为２． (1)用含p 得代数式表示ｑ;(2)求证:抛物线y 1＝x ２＋p ｘ+q 与x 轴有两个交点;(3)设抛物线y 1=ｘ2+px +q 得顶点为M ,与y 轴得交点为Ｅ,抛物线y 2＝x 2+px +q +1得顶点为N ,与ｙ轴得交点为Ｆ，若四边形ＦＥM Ｎ得面积等于２,求ｐ得值.解:（1)∵关于x 得一元二次方程x 2＋px ＋q +1＝0有一个实数根为2 ∴２２＋2p +q ＋１＝0，整理得:q =-２p -5(2)∵△=p 2－４q ＝p ２－4（-2p －5)＝p ２＋8p +20=(p +4）2+4 无论p 取任何实数，都有（ｐ+4）2≥0∴无论ｐ取任何实数,都有(p ＋4)2＋４>0,∴△＞0∴抛物线y 1＝ｘ２+px +q 与x 轴有两个交点(3)∵抛物线ｙ1=x 2＋px ＋ｑ与抛物线ｙ２＝x 2+px ＋q ＋1得对称轴相同,都为直线x=－ｐ２,且开口大小相同,抛物线y2＝x2＋ｐx＋q＋1可由抛物线ｙ１=x2+px+q沿y轴方向向上平移一个单位得到∴EF∥MＮ,EF=MN＝１∴四边形ＦEMN就是平行四边形由题意得S四边形FＥＭＮ=EF·｜-错误!|=２，即|－错误!|=2∴p=±42.(安徽某校自主招生)设关于x得方程ｘ２-5x－m２+1＝0得两个实数根分别为α、β,试确定实数m得取值范围，使｜α|＋|β|≤6成立.解:∵△＝5２－４(-m２＋1)=4ｍ2＋21∴不论m取何值,方程x2-5x-m2+1＝0都有两个不相等得实根∵x２－5ｘ-m2＋1=０,∴α+β＝5,αβ=１－ｍ2∵｜α｜+｜β|≤6,∴α２+β2＋2|αβ｜≤36,即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ｜≤36∴2５－2(１－ｍ2)+2｜1-ｍ２|≤3６当１－ｍ2≥0,即-1≤ｍ≤1时,25≤３6成立∴－1≤m≤1①当１-ｍ2＜0,即m＜－1或m>1时,得25-4（1-m2）≤36解得-错误!≤m≤错误!∴-152≤ｍ＜－1或1<m≤错误!②综合①、②得:－＼F(１５,2）≤m≤错误!３.(湖南怀化)已知x１,x２就是一元二次方程(ａ-6)ｘ2＋2ax+a=０得两个实数根．（１）就是否存在实数a,使-x1＋x1ｘ２＝4+x2成立?若存在,求出a得值;若不存在,请您说明理由;（2）求使(x1+１)（x2+１）为负整数得实数a得整数值.解：（1)∵ｘ１,x2就是一元二次方程（a－6)x2+2aｘ+a＝０得两个实数根∴错误!即错误!假设存在实数a使－ｘ１+ｘ1x2＝4＋x２成立,则４+（x1＋ｘ２）－x1x２=0∴4＋错误!－错误!=0,得a=２４∵ａ=24满足a≥0且a≠6∴存在实数ａ=24,使－x1+x1ｘ2=4＋ｘ2成立(2)∵(x１＋1)（ｘ2+１)=(x1＋x2)+x１x2＋１=＼F(－2a,ａ-６)+aa－６+1=-错误!∴要使(x１＋１)(x２＋1）为负整数,则只需a为7,８,9，124.（江苏模拟)已知关于x得方程x2-(a＋b+1)ｘ+a=0(b≥0）有两个实数根x1、x２，且ｘ1≤x2.(1)求证：x1≤1≤ｘ2(2）若点A（1,2),B(1２，1）,C(1,1)，点P（x1,ｘ2)在△ABC得三条边上运动，问就是否存在这样得点P，使a＋b＝错误!？若存在,求出点P得坐标;若不存在，请说明理由.解:(1）由根与系数得关系得：x1＋x2=a＋b+1，x1x２＝a∴a＝x１x2,b=x1＋x2-x１x2－1∵b≥0,∴ｘ1＋x2－x1x２-１≥０∴1－x1－x2+x1x2≤0∴(1－ｘ１)(1－x2)≤0又∵x １≤x 2,∴1-ｘ1≥0,１－x ２≤０ 即x 1≤1,x 2≥１ ∴x 1≤1≤x ２(2)∵x 1+ｘ2＝a ＋ｂ+１，ａ＋ｂ＝＼F(5,4),∴x 1＋x 2=错误! ①当点Ｐ(x 1,x 2)在ＢＣ边上运动时 则12≤x １≤1,x 2＝1 ∴x 1＝9４-x 2＝错误!-１=错误!>1故在ＢC 边上不存在满足条件得点P ②当点P (ｘ1,x ２)在AC 边上运动时 则x 1=1,１≤x 2≤2取x ２=＼F(5,４）,则x 1＋x 2＝94,即a ＋b ＝54故在AC 边上存在满足条件得点P (1,错误!)③当点Ｐ（x 1，x 2)在AB 边上运动时 则错误!≤x 1≤1,1≤x 2≤2,易知x 2＝2x １ ∵x １＋x ２＝＼Ｆ(9,4),∴x 1=34,x 2＝32又∵＼F （1,2)＜错误!＜1,1<错误!＜2故在AB 边上存在满足条件得点（错误!,错误!)综上所述,当点P (x １,ｘ2)在△ABC 得三条边上运动时,在B Ｃ边上没有满足条件得点，而在AC 、AB 边上存在满足条件得点,它们分别就是（１,５4)与(错误!,错误!)5.（福建模拟)已知方程组错误!有两个实数解错误!与错误!,且x 1x 2≠0,x 1≠ｘ2. （１)求b 得取值范围;（2）否存在实数b ，使得错误!+错误!=1?若存在,求出b 得值;若不存在,请说明理由. 解:（１)由已知得4x =(2x +ｂ)2，整理得4x ２＋(4b －4)ｘ+b 2＝0 ∵x 1≠ｘ2,∴△>０,即(４ｂ-4)2-16b 2>0,解得b ＜错误! 又∵x 1x ２≠0，∴错误!≠0,∴b ≠0 综上所述,b <错误!且b ≠０（２)∵ｘ1＋x 2=1－b ,x １ｘ2=错误!,∴错误!+错误!＝错误!=错误!＝１得 ∴b 2+4b -4=０,解得b =-2±2２∵-2+2，2=2(2-１）＞１2，∴b =-2+２2不合题意，舍去∴b =-2－２错误!6.(成都某校自主招生)已知a ,b ,ｃ为实数,且满足a +b +c =０,ab ｃ＝８,求c 得取值范围. 解:∵a +b ＋c ＝0,abc =8,∴a ,ｂ,ｃ都不为零,且a +b ＝-c ，ａb =错误! ∴a ,b 就是方程ｘ2＋cx ＋＼F(8,c )=0得两个实数根 ∴△=c 2-４×8c≥0当c <０时,c 2-４×＼F(8,c )≥0恒成立 当ｃ＞0时,得ｃ3≥32,∴c ≥ 故ｃ得取值范围就是c ＜0或c ≥７.(四川某校自主招生)已知实数x、y满足错误!,求x y得取值范围.解：∵(x-ｙ)2≥０,∴ｘ２＋y2≥2xｙ∴2(ｘ2＋y2)≥(x＋y）２∴2（4a2-2a＋２）≥(3a－1)2即a2-２ａ-3≤０,解得-1≤ａ≤3∵ｘy＝错误![（x＋ｙ)2－（x２+y2）]=错误![（3a-1）２-(4a2－2ａ+２)]=错误!(5a２－4a-１）＝错误!（a－错误!)2－错误!∴当a＝＼F(2,5）时,x y有最小值－＼F(9,１0);当ａ=３时有最大值16∴－＼F(9,10)≤ｘy≤1６8.(福建某校自主招生)已知方程(aｘ+1)2＝a2(1-ｘ2)(ａ＞1)得两个实数根x1、x2满足x1＜x2,求证:-1＜x１<0＜ｘ2<1.证明:将原方程整理，得2ａ2x2+2ax＋1-a2=０令y＝2a2ｘ2＋2ax+1－a2,由于a＞1，所以这就是一条开口向上得抛物线当x=0时,y=1－a2<0,∴原方程有一个正根与一个负根又∵ｘ１<x２,∴x1<0<x２又当x＝1时,ｙ=２ａ2+2ａ＋１-a2＝(a＋１）２＞0当ｘ=-1时,ｙ＝2ａ2－2a＋1-ａ2=(a-１）２＞０∴-1<x１<0<x2<1。