一元二次方程1．（模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．2．设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值围，使|α|＋|β|≤6成立．3．（）已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使( x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．4．（模拟）已知关于x 的方程x2－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且x 1≤x 2．（1）求证：x 1≤1≤x 2（2）若点A （1，2），B （12，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝54？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．（模拟）已知方程组⎩⎨⎧y2＝4x y ＝2x ＋b有两个实数解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝y 1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2y ＝y 2，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．（1）求b 的取值围； （2）否存在实数b ，使得1x 1＋1x 2＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．6．（某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值围．7．（某校自主招生）已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧x ＋y ＝3a －1x2＋y2＝4a2－2a ＋2，求x y 的取值围．8．（某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2＝a2(1－x2)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1＜x 2，求证：－1＜x 1＜0＜x 2＜1．（答案）1．（模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2∴22＋2p＋q＋1＝0，整理得：q＝－2p－5（2）∵△＝p2－4q＝p2－4(－2p－5)＝p2＋8p＋20＝(p＋4)2＋4无论p取任何实数，都有(p＋4)2≥0∴无论p取任何实数，都有(p＋4)2＋4＞0，∴△＞0∴抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点（3）∵抛物线y1＝x2＋px＋q与抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的对称轴相同，都为直线x＝－p2，且开口大小相同，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1可由抛物线y1＝x2＋px＋q沿y轴方向向上平移一个单位得到∴EF∥MN，EF＝MN＝1∴四边形FEMN是平行四边形由题意得S四边形FEMN＝EF·|－p2|＝2，即|－p2|＝2∴p＝±42．（某校自主招生）设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值围，使|α|＋|β|≤6成立．解：∵△＝52－4(－m2＋1)＝4m2＋21∴不论m取何值，方程x2－5x－m2＋1＝0都有两个不相等的实根∵x2－5x－m2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m2∵|α|＋|β|≤6，∴α2＋β2＋2|αβ|≤36，即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ|≤36∴25－2(1－m2)＋2|1－m2|≤36当1－m2≥0，即－1≤m≤1时，25≤36成立∴－1≤m≤1 ①当1－m2＜0，即m＜－1或m＞1时，得25－4(1－m2)≤36解得－152≤m≤152∴－152≤m＜－1或1＜m≤152②综合①、②得：－152≤m≤1523．（）已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．解：（1）∵x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根∴⎩⎨⎧a －6≠04a 2－4a (a －6)≥0 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠6a ≥0假设存在实数a 使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立，则4＋(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0∴4＋－2aa －6－aa －6＝0，得a ＝24∵a ＝24满足a ≥0且a ≠6∴存在实数a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立 （2）∵(x 1＋1)(x 2＋1)＝(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋1＝－2aa －6＋aa －6＋1＝－aa －6∴要使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数，则只需a 为7，8，9，124．（模拟）已知关于x 的方程x2－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且x 1≤x 2．（1）求证：x 1≤1≤x 2（2）若点A （1，2），B （12，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝54？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，x 1x 2＝a ∴a ＝x 1x 2，b ＝x 1＋x 2－x 1x 2－1 ∵b ≥0，∴x 1＋x 2－x 1x 2－1≥0 ∴1－x 1－x 2＋x 1x 2≤0 ∴(1－x 1)(1－x 2)≤0又∵x 1≤x 2，∴1－x 1≥0，1－x 2≤0 即x 1≤1，x 2≥1 ∴x 1≤1≤x 2（2）∵x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，a ＋b ＝5 4 ，∴x 1＋x 2＝ 94①当点P （x 1，x 2）在BC 边上运动时 则12≤x 1≤1，x 2＝1 ∴x 1＝9 4 －x 2＝ 9 4 －1＝54＞1故在BC 边上不存在满足条件的点P ②当点P （x 1，x 2）在AC 边上运动时 则x 1＝1，1≤x 2≤2取x 2＝5 4 ，则x 1＋x 2＝ 9 4 ，即a ＋b ＝ 54故在AC 边上存在满足条件的点P （1，54）③当点P （x 1，x 2）在AB 边上运动时O xy112CAB则12≤x 1≤1，1≤x 2≤2，易知x 2＝2x 1∵x 1＋x 2＝9 4 ，∴x 1＝ 3 4 ，x 2＝ 32又∵1 2 ＜3 4 ＜1，1＜ 32＜2故在AB 边上存在满足条件的点（3 4 ， 32）综上所述，当点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动时，在BC 边上没有满足条件的点，而在AC 、AB 边上存在满足条件的点，它们分别是（1，5 4 ）和（ 3 4 ， 32）5．（模拟）已知方程组⎩⎨⎧y2＝4x y ＝2x ＋b有两个实数解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝y 1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2y ＝y 2，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．（1）求b 的取值围； （2）否存在实数b ，使得1x 1＋1x 2＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知得4x ＝(2x ＋b )2，整理得4x2＋(4b －4)x ＋b2＝0∵x 1≠x 2，∴△＞0，即(4b －4)2－16b2＞0，解得b ＜12又∵x 1x 2≠0，∴b24≠0，∴b ≠0综上所述，b ＜12且b ≠0（2）∵x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b24，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝4(1－b )b2＝1得 ∴b2＋4b －4＝0，解得b ＝－2±22 ∵－2＋2 2＝2(2－1)＞12，∴b ＝－2＋2 2不合题意，舍去∴b ＝－2－22 6．（某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值围．解：∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，∴a ，b ，c 都不为零，且a ＋b ＝－c ，ab ＝ 8c∴a ，b 是方程x2＋cx ＋ 8c＝0的两个实数根∴△＝c2－4× 8c≥0当c ＜0时，c2－4× 8c≥0恒成立当c ＞0时，得c3≥32，∴c ≥342故c 的取值围是c ＜0或c ≥3427．（某校自主招生）已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧x ＋y ＝3a －1x2＋y2＝4a2－2a ＋2，求x y 的取值围． 解：∵(x －y )2≥0，∴x2＋y2≥2x y∴2(x2＋y2)≥(x ＋y )2∴2(4a2－2a ＋2)≥(3a －1)2即a2－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3∵x y ＝12[(x ＋y )2－(x2＋y2)]＝12[(3a －1)2－(4a2－2a ＋2)] ＝12(5a2－4a －1) ＝52(a －25)2－910∴当a ＝25时，x y 有最小值－910；当a ＝3时有最大值16∴－910≤x y ≤168．（某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2＝a2(1－x2)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1＜x 2，求证：－1＜x 1＜0＜x 2＜1．证明：将原方程整理，得2a2x2＋2ax ＋1－a2＝0令y ＝2a2x2＋2ax ＋1－a2，由于a ＞1，所以这是一条开口向上的抛物线当x ＝0时，y ＝1－a2＜0，∴原方程有一个正根和一个负根又∵x 1＜x 2，∴x 1＜0＜x 2又当x ＝1时，y ＝2a2＋2a ＋1－a2＝(a ＋1)2＞0当x ＝－1时，y ＝2a2－2a ＋1－a2＝(a －1)2＞0∴－1＜x 1＜0＜x 2＜1。