课时分层作业(十六) 复数的几何意义
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
C [z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限. ]
2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( )
A ．z 1＞z 2
B ．z 1＜z 2
C ．|z 1|＞|z 2|
D ．|z 1|＜|z 2|
D [z 1，z 2不能比较大小，排除选项A ，B ，又|z 1|＝52＋32，|z 2|＝52＋42，故|z 1|＜|z 2|.]
3．已知平行四边形OABC ，O ，A ，C 三点对应的复数分别为0,1＋2i,3－2i ，则AB →的模|AB →
|等于( ) A. 5
B ．2 5
C ．4 D.13
D [由于OABC 是平行四边形，故AB →＝OC →，因此|AB →|＝|OC →
|＝|3－2i|＝13.] 4．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
D [∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．]
5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( )
A ．－34＋i
B.34－i C ．－34－i D.34＋i
D [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝34
，b ＝1，
即z ＝34＋i.]
二、填空题
6．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝ .
－2＋3i [∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z 2＝－2＋3i.]
7．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝ .
12 [由条件，知⎩
⎨⎧ m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0， 所以m ＝3，
因此z ＝12i ，故|z |＝12.]
8．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是 ．
(3，＋∞) [∵复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，
∴⎩⎨⎧
x －2＞0，3－x ＜0.
解得x ＞3.] 三、解答题
9．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，求复数z .
[解] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，
解得a ＝±1，
故a ＝－1，
所以z ＝－1＋3i.
10．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点．
(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上．
分别求实数m 的取值范围．
[解] 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.
(1)由题意得m 2－m －2＝0.
解得m ＝2或m ＝－1.
(2)由题意得⎩
⎨⎧ m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0， ∴⎩⎨⎧
－1<m <2，m >2或m <1，
∴－1＜m ＜1.
(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2.
[等级过关练]
1．在复平面内，O 为原点，向量OA →
对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直
线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →
对应的复数为( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．1＋2i
D ．－1＋2i B [∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →
对应的复数为－2＋i.]
2．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( )
A ．1
B ．2 C.5 D ．3
D [∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，
∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选
D.]
3．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，则复数z ＝ .
±i [因为z 为纯虚数，
所以设z ＝a i(a ∈R ，且a ≠0)，
则|z －1|＝|a i －1|＝a 2＋1. 又因为|－1＋i|＝2， 所以a 2＋1＝2，即a 2＝1，
所以a ＝±1，即z ＝±i.]
4．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则y x 的最大值为 ．
3 [∵|x －2＋y i|＝3，
∴(x －2)2＋y 2＝3，故(x ，y )在以C (2,0)为圆心，3为半径的圆上，y x 表示圆
上的点(x ，y )与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知y x 的最大值为 3.]
5．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32
i. (1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；
(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？
[解] (1)|z 1|＝(3)2＋12＝2，|z 2|＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫322＝1， ∴|z 1|＞|z 2|.
(2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.
因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．。