3．1.2复数的几何意义
学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
知识点一复平面
思考1实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？
思考2判断下列命题的真假：
①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；
③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；
④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；
⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．
梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做__________，x轴叫做________，y轴叫做________．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
知识点二复数的几何意义
知识点三复数的模
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作
______或________．由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝______(r ≥0，r ∈R )．
类型一 复数与复平面内的点的关系
例1 实数x 分别取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在：
(1)第三象限；
(2)直线x －y －3＝0上．
引申探究
若例1中的条件不变，其对应的点在：
(1)虚轴上；
(2)第四象限．
反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i
(1)对应的点在x 轴上方；
(2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上．
类型二 复数与复平面内的向量的关系
例2 (1)向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复
数是( )
A ．－10＋8i
B ．10－8i
C ．0
D ．10＋8i
(2)设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是
( )
A ．－5＋5i
B ．－5－5i
C ．5＋5i
D ．5－5i
反思与感悟 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
跟踪训练2 (1)在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i ，若点A 关于实轴的对称
点为点B ，则向量OB →对应的复数为________．
(2)复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →所在直线的斜率为______________．
类型三 复数的模的计算
例3 若复数z ＝1＋a i(i 是虚数单位)的模不大于2，则实数a 的取值范围是__________． 反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．
跟踪训练3 已知0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )
A ．(1，10)
B ．(1，3)
C ．(1,3)
D ．(1,10)
1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( )
A ．0
B ．－3
C ．－3i
D ．3
3．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________．
4．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________________．
1．复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )而不是(a ，b i)；
(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因
为复平面上与OZ →相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；
(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 任何一个复数z ＝a ＋b i ，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应．
思考2 ①②③正确，④⑤错误．因为原点在虚轴上，而其表示实数，所以④错．因为非纯虚数包括实数，而实数对应的点在实轴上，故⑤错．
知识点二
Z (a ，b )
梳理 复平面 实轴 虚轴
知识点三
|z | |a ＋b i|
a 2＋
b 2 题型探究
例1 解 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．
(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋x －6<0，
x 2－2x －15<0， 即当－3<x <2时，点Z 在第三象限．
(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z (x 2＋x －6，x 2－2x －15)，
当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，
即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．
引申探究
解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0，
即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．
(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋x －6>0，
x 2－2x －15<0， 即当2<x <5时，点Z 在第四象限．
跟踪训练1 解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，
所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方．
(2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0，
得m ＝1或m ＝－52
， 所以当m ＝1或m ＝－52
时， 复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上．
例2 (1)C
(2)D
跟踪训练2 (1)2－i (2)43
解析 (1)复数2＋i 表示的点A (2,1)关于实轴对称的点为B (2，－1)，∴OB →对应的复数为2－
i.
(2)∵复数z 对应点Z (3,4)，
∴向量OZ →所在的直线的斜率为43
. 例3
解析 复数z ＝1＋a i(i 是虚数单位)的模不大于2，
即1＋a 2≤4，即a 2≤3，
可得a ∈．
跟踪训练3 A
当堂训练
1．C 2.C 3.9
4．|1－5i|>|x －y i|>|y ＋2i|。