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幂级数解法—本征值问题


(1 x2 ) d2 2x d l(l 1) 0
dx2
dx
为 l 阶勒让德方程,不可直接求解
2. 柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1
u
1
2
2u
2
2u z 2
0
u(,, z) R()()Z(z)
0
Z Z 0
d2R
d 2
1
dR
d
(
m2
2
)R
0
可直接求解 可直接求解 μ =0可直接求解
代入勒让德方程,可得:
(1 x2 ) k(k 1)ak xk2 2x kak xk1
k 2
k 1
l(l 1) ak xk 0 k 0
合并整理后可得:
k(k 1)ak xk k(k 1)ak xk2 2kak xk
k 2
k 2
k 1
l(l 1)ak xk 0 k 0
ak 2
(k l)(l k 1) (k 2)(k 1)
ak
(k 0,1, 2,L )
一般情况下,我们均取l是非负整数,且在一般 解y(x)中取常数a0=0(a1≠0)或a1=0(a0≠0),使y(x)成为 一个只含偶次幂或奇次幂的l次多项式,作为特解, 称作l阶勒让德多项式,记Pl(x)。
二、方程的常点和奇点概念
定义 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)都 在点z0及其邻域内解析,则称点z0为方程(11.1.1)的 常点。
定义 11.1.2 只要系数p(z)和q(z)之一在点z0不解 析,则称点z0为方程(11.1.1)的奇点。
定义 11.1.3 若(z-z0)p(z)及(z-z0)2q(z)都在点z0解 析,则称点z0为方程(11.1.1)的正则奇点,否则称 为方程的非正则奇点。
(z) ak (z z0 )k a00(z) a11(z)
k 0
(11.1.2)
其中a0和a1为任意常数, ω0(z)和ω1(z)为在点z0解 析的两个线性独立的函数。
三、常点邻域上的幂级数解法(勒让德方程的求解)
在x0=0的邻域求解 l 阶勒让德方程:
(1 x2 ) d2 y 2x dy l(l 1) y 0
dx2
dx
d2 y 2x dy l(l 1) y 0 dx2 (1 x2 ) dx (1 x2 )
方程的系数:
p(x) 2x (1 x2 )
q(x) l(l 1) (1 x2 )
在 x0=0 , 方 程 的 系 数 p(x0)=0 , q(x0)=l(l+1) 单 值 且 为 有限值,因此它们必然在x0=0处解析,故x0=0为方 程的常点,根据常点邻域上解的定理11.1.2,解具有 泰勒级数形式:
如果级数解 pl(x) 和 ql(x) 退化为有限项,即多 项式,则它们在x=±1处取有限数值,那么发散问
题就根本不存在了。
考察 pl(x):
pl
(x)
a0
1
(l)(l 2!
1)
x2
(2
l)(l)(l 1)(l 4!
3)
x4
L
(2k 2 l)(2k 4 l)L (2 l)(l)(l 1)(l 3)L (l 2k 1) x2k (2k )!
系数递推:
a2
(l)(l 1) 2!
a0
a4
(2
l)(l 43
3)
a2
(2
l)(l)(l 1)(l 4!
3)
a0
…………….
a2k
(2k
2 l)(2k
4 l)L
(2 l)(l)(l 1)(l (2k )!
3)L
(l
2k
1) a0
a3
(1
l)(l 3!
2)
a1
a5
(3
l)(l 54
6a3 l(l 1) 2a1 0
(k
2)(k
1)ak2
l(l
1)
k2
k ak
0
(k 2,3, 4,L )
解得系数间的递推关系:
ak 2
(k l)(l k 1) (k 2)(k 1)
ak
(k 0,1, 2,L )
因此,若知道级数系数a0、a1,则可由上述递推公 式计算出任一系数ak(k=2,3,…)。
第十一章 幂级数解法—本征值问题
11.1二阶常微分方程的幂级数解法
11.1.1幂级数解法理论概述
一、分离变量法求解偏微分方程: 1. 球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1 r2
r
2
r
u r
r
2
1
sin
s in
u
1
r 2 sin 2
2u
2
0
u(r, ,) R(r)Y ( ,)
Y ( ,) ( )()
定理 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)为
点z0的邻域 |z-z0|<R 中的解析函数,则方程在这个 圆中存在唯一的解析解ω(z)满足初始条件ω(z0)=C0 和ωʹ(z0)=C1 。
定理 11.1.2 若z0为方程(11.1.1)的常点,则在z0 点的邻域内,方程(11.1.1)的通解形式为
(1) 任选某个点z0,在其邻域上把待求的解 表为系数待定的幂级数;
(2) 将这个幂级数形式解代入方程和定解 条件,求出所有待定幂级数系数。
说明:
(1) 级数解法是一个比较普遍的方法,对方程无 特殊的要求;
(2) 既然是级数,就存在是否收敛和收敛范围的问 题;
(3) 级数解法的计算较为繁琐,要求耐心和细心。
d 2( z )
dz 2
p(z)
d( z)
dz
q( z )( z )
0
(11.1.1)
(z0 ) C0 (z0 ) C1
这里 z 是复变量,p(z) 和 q(z) 是已知的复变函数, 称为方程的系数, ω(z)是待求的未知函数,z0为选 定的点,C0和C1为复常数。
这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的 解法解出,但可用幂级数解法解出。幂级数解法 求解二阶常微分方程的具体过程为:
uk ak
(2k 2)!
(2k 2)(2k 1)
uk1 ak2 (2k )!(2k l)(l 2k 1) (2k l)(l 2k 1)
1
1 k
1 k2
l(l
4
1)(1 1 ) k
2 k
l(l 1) k2
有界
根据高斯判别法,λ=1,级数pl(x)发散。
对于ql(x):
可以看出 l 次勒让德多项式Pl(x)的系数繁琐, 为了使其有比较简单的形式,且使它在x=1处的值
恒为1(归一化),选最高次幂的系数为:
al
(2l)! 2l (l!)2
勒让德多项式Pl(x)的系数递推关系改写为:
ak
(
(k 2)(k k l)(l
1) k 1)
ak
2
k
l
2,l
4,L
,
考察ql(x),如果l是某个奇数,l=2n+1(n是非负 整数),则 ql(x)只到x2n+1项为止,从x2n+3项起,系数 都含有因子(2n+1-l)从而都为0。这样ql(x) 是2n+1次 多项式,并且只含奇次幂。此时pl(x)因其系数不含 (2n+1-l),仍是无穷级数,且在x=±1处发散。
其实,考察级数解的系数递推公式便知,只要l 是整数,如l=n(正负均可),k从某个数k=n(n为正)或 k=-n-1(n为负)起,级数解的偶数或奇数系数全为0 :ak+2=0、 ak+4=0……,级数的偶数或奇数部分变 成多项式。
4)
a3
(3
l)(1
l)(l 5!
2)(l
4)
a1
…………….
a2k 1
(2k
1 l)(2k
3 l)L (1 l)(l (2k 1)!
2)(l
4)L
(l 2k) a1
勒让德方程的解为:
y(x)
a0
1
(l)(l 2!
(l
3)
x4
L
(2k
2 l)(2k
k 0
k 2
因此合并x的同幂次项后有:
2a2 l(l 1)a0 6a3 2a1 l(l 1)a1 x
k(k 1)ak (k 2)(k 1)ak2 2kak l(l 1)ak xk 0
k 2
要使上述方程对任意的x都成立(=0),则要求x各幂
次前的系数必须为0,即:
2a2 l(l 1)a0 0
(2k
l)(2k
2 l)L
(2 l)(l)(l (2k 2)!
1)(l
3)L
(l
2k
1)
x2k2
L
如果l是某个偶数,l=2n(n是正整数),则 pl(x)只到 x2n项为止,从x2n+2项起(上式彩色项),系数都含 有因子(2n-l)从而都为0。这样pl(x)不再是无穷级数 ,而是2n次多项式,并且只含偶次幂。至于pl(x)因 其系数不含(2n-l),仍是无穷级数,且在x=±1处发 散。
高斯判别法:
对于正项级数 uk , 当 k 1 lim uk 1 u k k 1
时,若前后邻项之比可表示为:
uk uk 1
1
k
B(k) k2
其中B(k)是当k→∞时为k的有界函数,则当λ>1时级 数收敛,当λ≤ 1时级数发散。
对于足够大的k, pl(x)和ql(x) 均为正项级数。
对于pl(x):
r2 d2R 2r dR l(l 1)R 0
dr 2
dr
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