二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。

因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程''0y xy -=的通解解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=⋅+⋅++-+++将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x -∞<<∞2210a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=或一般的可推得32356(31)3k a a k k =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，13134673(31)k a a k k +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，320k a +=其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：3634701[1][]2323562356(31)33434673(31)nx x x x x y a a x n nn n =+++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。

例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。

解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。

首先，利用初值条件，可以得到00a =， 11a =，因而2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+⋅++-+将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到214220,1,0,,,1n n a a a a a n -====-因而567891111,0,,0,,2!63!4!a a a a a ======最后得21111(1)!!k a k k k +=⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。

将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到52132!!k x x y x x k +=+++++2422(1),2!!k x x x x x xe k =+++++=这就是方程的满足所给初值条件的解。

是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。

考虑二阶齐次线性微分方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++= 及初值条件00()y x y =及''00()y x y =的情况。

不失一般性，可设 00x =，否则，我们引进新变量0t x x =-，经此变换，方程的形状不变，在这时对应于0x x =的就是00t =了，因此，今后我们总认为00x =。

定理10 若方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=中系数()p x 和()q x 都能展成x 的幂级数，且收敛区间为||x R <，则方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=有形如nn n y a x∞==∑的特解，也以||x R <为级数的收敛区间。

在上两例中方程显然满足定理的条件，系数x -，2x -和4-可看作是在全数轴上收敛的幂级数，故方程的解也在全数轴上收敛。

但有些方程，例如n 阶贝赛尔方程22222()0d y dyx x x n y dx dx++-=这里n 为非负常数，不一定是正整数，（22()()0d y dyp x q x y dx dx ++=）在此1()p x x=，22()1n q x x =-，显然它不满足定理10 的条件，因而不能肯定有形如0nn n y a x ∞==∑的特解。

但它满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的幂级数解。

定理11 若方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=中系数()p x ，()q x 具有这样的性质，即()xp x 和2()x q x 均能展成x 的幂级数，且收敛区间为||x R <，若00a ≠，则方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++=有形如0nn n y xa x α∞==∑ 即n n n y a x α∞+==∑的特解，α是一个特定的常数，级数0n n n y a x α∞+==∑也以||x R <为收敛区间。

若00a =，或更一般的，0(0,1,2,1)i i m α==-，但0ma ≠，则引入记号m βα=+，k m k b a +=，则n m k k n m k k n mk k y x a x x a x x b x ααβ∞∞∞++======∑∑∑，这里00m b a =≠，而β仍为待定常数。

例7 求解n 阶贝赛尔方程22222()0d y dyx x x n y dx dx++-=。

解 将方程改写成2222210d y dy x n y dx x dx x-++=， 易见，它满足定理11的条件（()xp x 和2()x q x 均能展成x 的幂级数，且收敛区间为||x R <），且()()2221,xp x x q x x n ==-，按展成的幂级数收敛区间为x -∞<<∞，由定理11，方程有形如a k k k y a x ∞+==∑的解，这里00a ≠，而k a 和α是待定常数，将a kk k y a x ∞+==∑代入：22222()0d y dy x x x n y dx dx ++-=中，得 221()(1)a k kk xa k a k a x∞+-=++-∑11()a k k k x a k a x ∞+-=++∑220()0a k k k x n a x ∞+=+-=∑，把x 同幂次项归在一起，上式变为220[()(1)()]0a ka k k k k k k k k n a xa x ααα∞∞+++==++-++-+=∑∑令各项的系数等于0，得一系列的代数方程220221222[]0[(1)]0[()]02,3,kk a n a n a k n a k ααα-⎧-=⎪+-=⎪⎨+-+=⎪⎪=⎩因为00a ≠，故从22[]0a n α-=解得α的两个值 n α=和n α=-先考虑n α=时方程22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的一个特解，这时我们总可以从以上方程组中逐个地确定所有的系数k a 。

把n α=代入以上方程组，得到10a =2(2)k k a a k n k -=-+，2,3k =或按下标为奇数或偶数，我们分别有()()()212122*********k k k k a a k n k a a k n k -+--⎧=⎪+++⎪⎨-⎪=⎪+⎩1,2,k=从而求得210k a -= 1,2,k=()022211a a n =-⋅+()()()244122!12a a n n =-⋅++()()()()366123!123a a n n n =-⋅+++一般地()()()()2212!12kk ka a k n n n k =-⋅+++1,2,k =将k a 各代入a kk k y a x ∞+==∑得到方程22222()0d y dyx x x n y dx dx++-=的一个解()()()()02102112!12knk n kk a y a x x k n n n k ∞+=-=+⋅+++∑既然是求22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的特解，我们不妨令 ()0121na n =Γ+其中函数()s Γ定义如下： 当s >0时，()10s x s x e dx +∞--Γ=⎰；当s <0且非整数时，由递推公式()1()1s s sΓ=Γ+定义。

()s Γ具有性质()()1s s s Γ+=Γ; ()1!n n Γ+=n 为正整数而()()()()02102112!12knk n k k a y a xx k n n n k ∞+=-=+⋅+++∑变为()()()()2101!112kk nk x y k n k n n +∞=-⎛⎫= ⎪++Γ+⎝⎭∑注意到Γ函数的性质，即有()()()2101!1`2kk nn k x y J x k n k +∞=-⎛⎫=≡ ⎪Γ++⎝⎭∑()n J x 是由贝塞尔方程22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=定义的特殊函数，称为n 阶贝赛尔函数。

因此，对于n 阶贝塞尔方程，它总有一个特解()n J x 。

为了求得另一个与()nJ x 线性无关的特解，我们自然想到，求an=-时方程22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的形如 20n kk k y a x∞-+==∑的解，我们注意到只要n 不为非负整数，像以上对于n α=时的求解过程一样，我们总可以求得210k a -= 1,2,k=()()()()221,2!12kkk a a k n n n k =-⋅-+-+-+1,2,k =使之满足220221222[]0[(1)]0[()]02,3,kk a n a n a k n a k ααα-⎧-=⎪+-=⎪⎨+-+=⎪⎪=⎩中的一系列方程，因而()()()()02202112!12knk n k k a y a xx k n n n k ∞--=-=+⋅-+-+-+∑是22222()0d y dy x x x n y dx dx++-=的一个特解。

此时，若令 ()0121na n -=Γ-+则()()()()02202112!12knk nk k a y a xx k n n n k ∞--=-=+⋅-+-+-+∑变为()()()2201!12k nkn k x y J x k n k -∞-=-⎛⎫=≡ ⎪Γ-++⎝⎭∑称()nJ x -为阶贝赛尔函数。