展成幂级数, 满足定理条件(因其特点不用具体展开它).
设方程的解为 y ak xk , 代入③:
k 0
k (k 1) ak xk2 k (k 1) ak xk
k 2
k 2
2 k ak xk n(n 1) ak xk 0
k 1
k 0
整理后得:
(k 2)(k 1) ak2 (n k)(n k 1) ak xk 0
a3
0,
a4
0,
a5
1 , 20
,
所求解为 y 1 x2 1 x5 . 2 20
小结: 无初始条件求解
可设 y C an xn
n1
(C是任意常数)
三、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理 如果方程 y P( x) y Q( x) y 0中的系数
P( x)与Q( x)可在 R x R内展为x 的幂级数,
n0
则 y nan x n1 ,
n0
y n(n 1)an xn2 (n 2)(n 1)an2 xn ,
n1
n0
将 y, y, y 带入 y xy y 0,
(n
2)(n
1)an2
x n
x
nan xn1
an
xn
0,
n0
n0
n0
[(n 2)(n 1)an2 (n 1)an ]xn 0,
解: 设特解为
代入原方程整理得
2a0 a0 x (n 1)(n 2)an (n 2)an1 xn x4
n2
比较系数得: a0 0, 6 a4 2 a3 1
(n 1)(n 2)an (n 2)an1 0 (n 2, n 4)
从而得 当n > 4
时,
可任意取值,
a3 0,
练习题
一、试用幂级数求下列各微分方程的解: 1、 y xy x 1； 2、 xy ( x m) y my 0.( m 为自然数 )
二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:
1、 y
y2
x3
,
y x01； 22、源自d2 dtx2
x cos t
0
,
x t0
a
,
dx dt
t0
0.
练习题答案
y y0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 其中a1 ,a2 , ,an , 为待定的系数.
例1
求 dy dx
x
y2
满足y
|x0
0的特解.
解 x0 0， y0 0,
设 y a1 x a2 x2 a3 x3 an xn ,
y a1 2a2 x1 3a3 x2 nan xn1 ,
第十一节
第七章
微分方程的幂级数解法
微分方程解法: 积分法 — 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 — 本节介绍 数值解法 — 计算数学内容
本节内容: 一、一阶微分方程问题
二、二阶齐次线性微分方程问题
一、问题的提出
例如 dy x2 y2 , dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法;
将 y, y 的幂级数展开式带入原方程
a1 2a2 x 3a3 x2 4a4 x3 x (a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4 )2
x a12 x2 2a1a2 x3 (a22 2a1a3 )x4
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
a1
0,
a2
1, 2
k 0
比较系数, 得
ak 2
(n (k
k)(n 2)(k
k 1) 1)
ak
(k 0,1, )
例如:
a2
n(n 1) 2!
a0
a3
(n
1)(n 3!
2)
a1
a4
(n
2)(n 34
2)
a2
(n
2)n(n 1)(n 4!
3)
a0
a5
(n
3)(n 45
4)
a3
(n 3)(n 1)(n 5!
2)(n
卡比逐次逼近法; 数值解法.
二、dy f ( x, y)特解求法 dx
问题
求 dy dx
f (x, y) 满足
y
x x0
y0 的特解.
其中 f ( x, y) a00 a10( x x0 ) a01( y y0 ) alm ( x x0 )l ( y y0 )m .
假设所求特解可展开为x x0的幂级数
4) a1
a0 , a1 可以任意取, 于是得勒让德方程的通解:
y
a0
1
n(n 2!
1)
x2
(n
2)n(n 4!
1)(n
3)
x4
a1
x
(n
1)(n 3!
2)
x3
(n 3)(n 1)(n 2)(n 4) x5 5!
(1 x 1)
上式中两个级数都在(－1, 1 )内收敛, 它们是方程的
那么在 R x R内原方程必有形如
的解.
y an xn n0
作法 设解为 y an xn , n0
将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x x0 的幂级数， 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
例2 求方程 y xy y 0的解.
解 设方程的解为 y an xn ,
x2
一、1、 y Ce 2 [1 x
1
x3
1 3
x 2n1
]；
1 3 5 (2n 1)
2、 y
C1e x
C2
m k0
xk k!
.
二、1、 y 1 1 x 1 x2 1 x3 9 x4 ； 2 4 8 16 32
两个线性无关特解.
四、小结 微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
作变换
分离变量法
积分因子
全微分方程
常数变易法
非非 变全 量微 可分 分方 离程
高阶方程
特征方程法
幂级数解法
待定系数法
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
因是求特解,
a4
1 6
故取
a1
a2
0,
an
n
1
1 an 1
1
(n 1)(n 2)
4
a4
(n
1
1)!
因此
n 4(n
1
1)!
x
n
注意到:
ex
1 xn ,
n0 n!
此题的上述特解即为
y x(ex 1 x 1 x2) 2
例4. 求解勒让德 (Legendre) 方程 ③
解:
都可在 (1,1)内
n0
an2
an n
, 2
n 0,1,2,
a2
a0 2
,
a3
a1 3
,
a4
a0 8
,
a5
a1 , 15
a2k
a0 k! 2k
,
a2k1
a1 , (2k 1)!!
原方程的通解
k 1,2,3,
y
a0
n0
x2n 2n n!
a1
n0
x (2n
2n1
1)!!
(a0 ,a1是任意常数)
例3. 求方程 x2 y (x 2) (x y y) x4 的一个特解.