高二数学学案 序号 112-113高二年级 班 教师 毕 环 学生 复习三十五 双曲线的定义、标准方程及几何性质
〖学习目的〗1、掌握双曲线的定义、标准方程及几何性质
2、会用定义和几何性质解决简单问题；会求双曲线的标准方程； 〖重点难点〗定义、几何性质的理解及应用 〖学习过程〗 一、复习归纳
1、双曲线的定义：到两定点距离之差的绝对值等于一个常数（小于两定点间距离）的动点 的轨迹为双曲线。
即：当21212F F a PF PF <=-时，P 的轨迹为双曲线；21F F 是焦距，c F F 221= 注： 1）双曲线有两支，设21,F F 分别是左、右焦点，则当a PF PF 221=-时表示右支； 当a PF PF 212=-时表示左支； 2）当21212F F a PF PF ==-时，P 的轨迹为以1F 、2F 为端点的两条射线；
3） 当21212F F a PF PF >=-时，P 的轨迹不存在； 2、双曲线的标准方程
1）当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a b
y a x ，其中：焦点坐标是)0,(c ±
2）当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为
)0,0(122
22>>=-b a b
x
a y ，其中：焦点坐标是),0(c ± 注意：（1）222
b a
c += 注意与椭圆的区别。
（2）方程特征：左边是平方差的结构，右边是1；分母均大于0，但大小不定； （3）根据方程判断焦点的位置的方法：看系数的符号（正负）； 即2x 的系数大于0则在x 轴上，且2x 的分母即是2a ； 反之，2y 的系数大于0则在y 轴上，且2y 的分母即是2a 。
3、求双曲线方程，先要判断焦点的位置，若两种均有可能，则分两种情况讨论； 有的问题也可用两种标准方程的统一形式：)0(122
<=+mn ny mx 来设方程。
4、常用小结论：
1）与双曲线
122
22
=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(22
22
≠=-λλb
y
a x 2）、以x a
b
y ±=渐近线的双曲线可设为：)0(2222≠=-λλb y a x
5、双曲线的标准方程与几何性质
二、例题讲解
例1、（1）已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足126PF PF -=,求动点P 的轨迹方程
（2）已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足1210PF PF -=,求动点P 的轨迹方程.
（3）已知双曲线C 与双曲线14
162
2=-y x 有公共焦点，且过点)2,23(，求该双曲线的方程。
例2、方程
1112
2=-++k
y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k
例3、已知双曲线的两个焦点为F 1（-10，0）、F 2（10，0），P 是此双曲线上的一点， 且021=⊥PF PF
2=，求该双曲线的方程。
例4、 设21,F F 是双曲线14
22
=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足 6021=∠PF F ， 求21F PF ∆的面积。
例5、求双曲线22
916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
例6、求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）顶点在y 轴上，两顶点间的距离是8，离心率4
5
=e ；
（2）求经过点(3,1)A -，且对称轴都是坐标轴的等轴双曲线的方程，并渐近线方程和离心率。
例7、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直，求双曲线的离心率。
例8、求与双曲线
116
92
2=-y x 有共同的渐近线，且经过点)32,3(-的双曲线标准方程；
三、课后练习
1、过两点)26,7(--A 、)3,72(B 的双曲线的标准方程为 。
2、双曲线22
55x ky +=
的一个焦点是，那么实数k 的值为 ．
3、方程
22
141x y k k
+=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围
4、已知双曲线112
42
2=-
y x 上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为
5、已知双曲线19
162
2=-
y x 上一点P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项， 则点P 到左焦点的距离为
6、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，-2），则它的离心率为
7、求中心在原点，F )0,5(为右焦点，离心率为2
5
=e 的双曲线方程及其渐近线方程。
8、设P 是双曲线19
2
22=-
y a x 上一点，该双曲线的一条渐近线方程是3x+4y=0，F 1，F 2分别是 双曲线的左、右焦点，若|PF 1|=10，则|PF 2|=
9、已知双曲线的一条渐近线方程是x-2y=0，且过点P （4，3），求双曲线的标准方程．。