（2）2a >0 ；
2
问题4:定义中为什么这个常数要小于|F1F2|？ 如果不小于|F1F2 | ，轨迹是什么？
①若2a=2c,则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
②若2a>2c,则轨迹是什么？
此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么？
显示曲线
此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处 测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方 程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的 准确位置.这是双曲线的一个重要应用. 7
思考 3: 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测 点的报告： 正西、 正北两个观测点同时听到了一声巨响， 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各 观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生 的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/s,相关各点 均在同一平面上)
同理,直线BM的斜率是 kBM y ( x 5) x 5 由已知有 y y 4 ( x 5) x 5 x 5 9
变题2：讨论方程 表示的曲线
y 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2 m m 1
Ax 2 By 2 C A, B, C都不为0
2
2
所
4
练习
x2 y2 1.k 3是方程 1表示双曲线的 _____ 条件. 3 k k 1 9 2.已知双曲线过点(3, 4 2)和( ,5), 则双曲线方程为 ____ . 4 2 2 2 2 x y x y 3.椭圆 2 1与双曲线 1有相同焦点, 则a=__. 4 a a 2 4.设动点M到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)的距离之差为6, 则点P的轨迹方程为__________. 5.双曲线x 2 4 y 2 4的左右焦点分别为F1 , F2 , 过F1的直线交 右支于A,B两点,若 AB 5, 则 AF1 B的周长为 ______ .
用 y=－x 代入上式，得 x 680 5 ，∵|PB|>|PA|, x 680 5, y 680 5, 即P ( 680 5, 680 5), 故PO 680 10 答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处.
9
设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线 AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 4 , 9 试求点M的轨迹方程.由斜率之积你有什么发 现?
分析:设点M的坐标为(x,y),那 么直线AM,BM的斜率就可以用含 x,y的式子表示,由于直线AM,BM 4 的斜率之积是 9 ,因此,可以建 立x,y之间的关系式,得出点M的 轨迹方程
y M
Ao
B
x
10
解:设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0), y 所以直线AM的斜率是
k AM
3
x y 例2:如果方程 1 表示双曲 2 m m 1 线，求m的取值范围.
2
2
解: 由(2 m )(m 1) 0 得m 2或m 1 ∴ m 的取值范围为 ( , 2) ( 1, ) 变题1：
方程 x
m 2 则m的取值范围_____________.
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360, x2 y2 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 2 2 1 的一支上， a b 依题意得 a = 680, c = 1020， b2 c 2 a 2 10202 6802 5 3402 x2 y2 1 ∴双曲线的方程为 2 2 680 5 340
5
例3.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地 与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为 |AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线 在靠近B处的一支上. 如图所示，建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上，并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y)， 则 PA PB 340 2 680 A o B x 即 2a=680，a=340 AB 800 2c 800, c 400, b2 c 2 a 2 44400 800 PA PB 680 0 , x 0 x 2 y2 1( x 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400 6
思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
双曲线及其标准方程 （二）
复习： 双曲线定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝 对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹 叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M o
||MF1|-|MF2||=2a ( 2a<2c)
注意
F1
F2
（1）2a<2c ；
分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
只要能把巨响点满足的两个曲线 方程求出来.那么解方程组就可以确 定巨响点的位置.
P
yC


o
B
x
要求曲线的方程,恰当的建立坐 标系是一个关键.
8
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系. 设 A、B、C 分别是西、东、北观测点， 则 A(－1020,0） B(1020,0） ， ，C(0,1020）. 设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，