第五章 空间任意力系习 题5.1 托架A 套在转轴z 上，在点C 作用一力F = 2000 N 。
图中点C 在Oxy 平面内，尺寸如图所示，试求力F 对x ，y ，z 轴之矩。
题5.1图解：cos 45sin 60 1.22x F F KN ==cos45cos600.7y F F KN ==sin 45 1.4z F F KN ==6084.85x z M F mm KN mm ==⋅5070.71y z M F mm KN mm ==⋅ 6050108.84z x y M F mm F mm KN mm =+=⋅5.2 正方体的边长为a ，在其顶角A 和B 处分别作用着力F 1和F 2，如图所示。
求此两力在轴x ，y ，z 上的投影和对轴x ，y ，z 的矩。
xyzOaaa ABF 1 F 2 αβα题5.2图F F zF xyF yF x解：21sin cos sin x F F F αβα=-1cos cos y F F βα=-12sin cos z F F F βα=+12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β=121cos cos sin cos sin z y x MF a F a aF aF aF βααβα=-=---5.3 如图所示正方体的表面ABFE内作用一力偶，其矩M = 50 kN·m ，转向如图。
又沿GA 、BH 作用两力F 、F ′，F = F ′，a = 1 m 。
试求该力系向C 点的简化结果。
解：两力F 、F ′能形成力矩1M1M Fa m ==⋅11cos 45x M M =10y M = 11sin 45z MM =1cos4550x M M KN m ==⋅11sin 4550100z z M M M M KN m =+=+=⋅C M m ==⋅63.4α= 90β= 26.56γ=5.4 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m ，力系如图所示，选O 点为简化中心，坐标如图所示。
已知：F 1 = 5 N ，F 2 = 4 N ，F 3 = 3 N ；M 1 = 4 N·m ，M 2 = 2 N·m ，求力系向O 点简化所得的主矢'R F 和主矩M O 。
题5.4图解：'1236R F F F F N =+-=方向为Z 轴正方向21232248x M M F F F N m =++-=⋅ 1123312y M M F F F N m =--+=-⋅2214.42O y x M M M N m =+=⋅56.63α= 33.9β=-90γ=5.5 如图所示圆柱重W =10kN ，用电机链条传动而匀速提升。
链条两边都和水平方向成300角。
已知鼓轮半径r =10cm ，链轮半径1r =20cm ，链条主动边（紧边）的拉力T 1大小是从动边（松边）拉力T 2大小的两倍。
若不计其余物体重量，求向心轴承A 和B 的约束力和链的拉力大小（图中长度单位cm ）。
题5.5图解：120,cos30cos300AxBx X F F T T =+++=∑210,sin30sin300AzBz Z F F T T W =+-+-=∑120,60cos3060cos301000zBx M T T F =---=∑ 120,3060sin3060sin301000xBz M W T T F =-+-+=∑ 21110,0yMWr T r T r =+-=∑20.78,13Ax Az F KN F KN =-= 7.79, 4.5Bx Bz F KN F KN == 1210,5T KN T KN ==5.6 如图所示均质矩形板ABCD 重为W = 200 N ，用球铰链A 和蝶形铰链B 固定在墙上，并用绳索CE 维持在水平位置。
试求绳索所受张力及支座A ，B 处的约束力。
解：取长方形板ABCD 为研究对象，受力如图所示重力W 作用于板的型心上。
选坐标系Axyz ，设AD 长题5.6图2a ，AB 长为2b ，列出平衡方程并求解F AxF AzF BxF BzWBzF=100AzF N=5.7 如图所示，水平轴上装有两个凸轮，凸轮上分别作用已知力F1=800N和未知力F。
如轴平衡，求力F和轴承约束力的大小。
xyzBAFF140cm60cm40cm2cm20cmBxFBzFAzFAxF题5.7图解：10,0Ax BxX F F F=++=∑0,0Az BzZ F F F=++=∑10,1401000z BxM F F=--=∑10,20200yM F F =-=∑ 0,401000xBz MF F =+=∑320,480Ax Az F N F N ==- 1120,320Bx Bz F N F N =-=-800F N =5.8 扒杆如图所示，立柱 AB 用 BG 和 BH 两根缆风绳拉住，并在 A 点用球铰约束，A 、H 、G 三点位于Oxy 平面内，G 、H 两点的位置对称于y 轴，臂杆的D 端吊悬的重物重W = 20 kN ；求两绳的拉力和支座A 的约束反力。
题5.8图解：G 、H 两点的位置对称于y 轴BG BH F F =0,sin 45cos60sin 45cos600BGBH Ax X F F F =-++=∑ 0,cos45cos60cos45cos600BGBH Ay Y F F F =--+=∑0,sin60sin600AzBG BH Z F F F W =---=∑0,5sin 45cos605sin 45cos6050xBG BH MF F W =+-=∑28.28,0,20,68.99BG BH Ax Ay Az F F KN F F KN F KN =====5.9 如图所示，一重量W = 1000N 的均质薄板用止推轴承A 、B 和绳索CE 支持在水平面上，可以绕水平轴AB 转动，今在板上作用一力偶，其力偶矩为M ，并设薄板平衡。
已知a = 3 m ，b = 4 m ，h = 5 m ，M = 2000 N·m ，试求绳子的拉力和轴承A 、B 的约束力。
5.10 如图所示作用在踏板上的铅垂力F 1使得位于铅垂位置的连杆上产生的拉力F = 400 N ，o 30α=，a = 60 mm ，b = 100 mm ，c = 120 mm 。
求轴承A 、B 处的约束力和主动力F 1。
题5.10图解：0,0ByAy Y F F =+=∑ 10,0AzBz Z FF F F =+--=∑10,2cos 0xM bF cF α=-=∑ 0,0yBz Az M aF bF bF =-+=∑ 0,0zBy Ay MbF bF =-=∑0Ay By F F ==，423.92Az F N =， 183.92Bz F N =1207.84F N =5.11 如图所示为一均质薄板，其尺寸单位为mm 并标示于图中，求该薄板的重心。
x题 5.11图解：三角形OAB 的中心为：()15,6.6721300A mm =小圆重心为：()6,6216A π=该薄板的重心：5.12 如图所示，从 R = 120 mm 的均质圆板中挖去一个等腰三角形。
求板的重心位置。
x题5.12图解：圆重心：()0,011221216.8x A x A x A A -==-1122120.4y A y A y A A -==--2114400A mm π=三角形重心：()0,30228100A mm =板的重心位置：5.13 试求图所示均质板OABCD 的重心位置（图中尺寸的单位为mm ）。
x题5.13图题5.14图解：I 部分重心：()45,20 212700A mm =∏部分重心：()105,20 22900A mm =I∏部分重心：()60,20- 234800A mm =均质板OABCD 的重心：1122120x A x A x A A -==-1122126.54y A y A y A A -==--11223312360x A x A x A x mm A A A ++==++1122331232.86y A y A y A y mmA A A ++==-++5.14 试求图所示均质等厚板的重心位置（图中尺寸的单位为mm ）。
x解：I 部分重心：()2145,60,10800A mm =∏部分重心：()2273,60,800A mm π= I∏部分重心：()2345,20,2700A mm -=均质等厚板的重心：11223312349.4x A x A x A x mmA A A ++==++11223312346.5y A y A y A y mmA A A ++==++。