2021年高考数学大一轮复习 6.2一元二次不等式及其解法课时作业 理一、选择题1．已知集合A ＝{x ||2x ＋1|>3}，集合B ＝{x |y ＝x ＋1x －2}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，＋∞)D ．[1,2]解析：由A ＝{x ||2x ＋1|>3}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |y ＝x ＋1x －2}＝{x |x ＋1x －2≥0}＝{x |x >2或x ≤－1}，所以∁R B ＝{x |－1<x ≤2}，所以A ∩(∁R B )＝{x |1<x ≤2}．答案：B2．已知两个集合A ＝{x |y ＝ln(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |2x ＋1e －x≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．[－12，2)B ．(－1，－12]C ．(－1，e)D ．(2，e)解析：由题意得A ＝{x |－x 2＋x ＋2>0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >e 或x ≤－12}，故A ∩B＝(－1，－12]．答案：B3．“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0.故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．答案：A4．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]解析：原不等式可能为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4<a ≤5，当a <1时得a <x <1，则－3≤a <－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]．答案：D5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235解析：由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，f (1)≤0，解得a >－235，且a ≤1，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－235，1.答案：B6．已知奇函数f (x )满足f (－1)＝f (3)＝0，在区间[－2,0)上是减函数，在区间[2，＋∞)是增函数，函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xf －x ，x <0－fx ，x >0，则F (x )>0的解集是( )A ．{x |x <－3，或0<x <2，或x >3}B ．{x |x <－3，或－1<x <0，或0<x <1，或x >3}C ．{x |－3<x <－1，或1<x <3}D ．{x |x <－3，或0<x <1，或1<x <2，或2<x <3} 解析：由题意，可得f (x )的草图如下：①x <0时，xf (－x )>0，即xf (x )<0，解得－3<x <－1；②x >0时，－f (x )>0，即f (x )<0，解得1<x <3， 综上所述，F (x )>0的解集为{x |－3<x <－1或1<x <3}． 答案：C 二、填空题7．若关于x 的不等式12x 2＋(2－m )x <0的解集是{x |0<x <2}，则实数m ＝________.解析：由题知x ＝0和x ＝2是方程12x 2＋(2－m )x ＝0的根，可得m ＝3.答案：38．若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x－2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0，∴实数a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]9．已知集合A ＝{x ||2x －3|≤1，x ∈R }，集合B ＝{x |ax 2－2x ≤0，x ∈R }，A ∩(∁U B )＝∅，则实数a 的范围是________．解析：A ＝[1,2]，由于A ∩(∁U B )＝∅，则A ⊆B ，当a ＝0时，B ＝{x |x ≥0，x ∈R }＝[0，＋∞)，满足A ⊆B ；当a <0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≥0，x ∈R ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2a∪[0，＋∞)，满足A ⊆B ；当a >0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0，x ∈R ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a，若A ⊆B ，则2a≥2，即0<a ≤1；结合以上讨论，实数a 的范围是(－∞，1]．答案：(－∞，1] 三、解答题10．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解：(1)∵不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，∴x ＝1与x ＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)原不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，可化为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }； ②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}； ③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅.综上所述，当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为∅.11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.那么当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .1．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]解析：函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1时，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16a －12－12a 2＋4a －5<0.解得1<a <19.综上1≤a <19. 答案：C2．偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (－4)＝f (1)＝0，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52与⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞上分别递减和递增，则不等式x 3f (x )<0的解集为( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－4，－1)∪(1,4)C ．(－∞，－4)∪(－1,0)D ．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)解析：由图知，f (x )<0的解集为(－4，－1)∪(1,4)，∴不等式x 3f (x )<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．答案：D3．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>0的解集为(1,2)，若f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是________．解析：由题意知a <0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－a 4<1，∴a >－4，故－4<a <0. 答案：(－4,0)4．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c . (1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点；(2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m －n |的取值范围． 解：(1)证明：由题意知a ＋b ＋c ＝0，且－b2a>1，∴a <0且c a>1，∴ac >0，∴对于函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c 有Δ＝(a －b )2＋4ac >0，∴函数y ＝f (x )必有两个不同零点． (2)|m －n |2＝(m ＋n )2－4mn ＝b －a2＋4aca2＝－2a －c 2＋4aca2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＋8c a＋4， 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t >1)，由根与系数的关系知ca＝t ，∴|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)．∴|m －n |>13，∴|m －n |的取值范围为(13，＋∞)．K33519 82EF 苯38962 9832 頲~ 31733 7BF5 篵22888 5968 奨37984 9460 鑠L827715 6C43 汃:。