Oyxz FEGH IJ O yx z A'C'B B'C D'A 第63炼 立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。

一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。

4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。

但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。

5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。

6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直：① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若222AB AC BC +=，则AB AC ⊥（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下：x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例： 则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了111,,0,,1,022H I ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果()'11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。

如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。

例如：正方体中的'B 点，其投影为B ，而()1,1,0B 所以()'1,1,B z ，而其到底面的距离为1，故坐标为()'1,1,1B以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：3、需要计算的点① 中点坐标公式：()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则AB 中点121212,,222x x y y z z M +++⎛⎫⎪⎝⎭，图中的,,,H I E F 等中点坐标均可计算② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求'A 点的坐标，如果使用向量计算，则设()',,A x y z ，可直接写出()()()'1,0,0,1,1,0,1,1,1A B B ，观察向量''AB A B =，而()0,1,0AB = ，()''1,1,1A B x y z =--- 101110101x x y y z z -==⎧⎧⎪⎪∴-=⇒=⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩()'1,0,1A ∴二、典型例题：例1：在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=，,,D E F 分别是棱,,AB BC CD 的中点，1,2AB AC PA ===，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标 PA ⊥平面90BAC ∠= ∴以,,AP AB AC 为轴建立直角坐标系坐标轴上的点：(0,0,0A中点：:D AB 中点1,0,02⎛⎫⎪⎝⎭:E BC 中点11,,022⎛⎫⎪⎝⎭:F PC 中点10,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述：()()()11111,0,0,0,1,0,0,0,2,,0,0,,,0,0,,12222B C P D E F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭小炼有话说：本讲中为了体现某些点坐标的来历，在例题的过程中进行详细书写。

这些过程在解答题中可以省略。

例2：在长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1,BC CC 上的点，2CF AB CE ==，1::1:2:4AB AD AA =，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标思路：建系方式显而易见，长方体1,,AA AB AD 两两垂直，本题所给的是线段的比例，如果设1,2,4AB a AD a AA a ===等，则点的坐标都含有a ，不便于计算。

对待此类问题可以通过设单位长度，从而使得坐标都为具体的数。

解：因为长方体1111ABCD A B C D -1,,AB AD AA ∴两两垂直∴以1,,AB AD AA 为轴如图建系，设AB 为单位长度112,4,1,2AD AA CF CE ∴====()()()()()()()11111,0,0,1,2,0,0,2,0,1,0,4,0,0,4,1,2,4,0,2,4B C D B A C D()31,,0,1,2,12E F ⎛⎫⎪⎝⎭例3：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，1,60AD DC CB ABC ===∠=，CF ⊥ 平面ABCD ，且1CF =，建立适当的直角坐标系并确定各点以可以以其中一条边为轴，在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件，进而可以建立坐标系方案一：（选择BC 为轴），连结AC 可知120ADC ∠= ∴在ADC 中2222cos 3AC AD DC AD DC ADC =+-=AC ∴=由1,60AC BC ABC ==∠=可解得2,90AB ACB =∠=AC BC ∴⊥ CF ⊥平面ABCD ,CF AC CF BC ∴⊥⊥以,,AC CF BC 为坐标轴如图建系：())()10,1,0,,,0,0,0,12B AD F ⎫-⎪⎝⎭方案二（以CD 为轴）过C 作CD 的垂线CM CF ⊥平面ABCD ,CF CD CF CM ∴⊥⊥∴以,,CD CF CM 为坐标轴如图建系：（同方案一）计算可得：22CM AB ==()()31,0,,0,0,1,0,0,0,122A B D F ⎫⎫∴--⎪⎪⎝⎭⎝⎭小炼有话说：建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直（即z 轴），对于,x y 轴的选取，如果没有已知线段，可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴，然后作这条轴的垂线来确定另一条轴，本题中的两个方案就是选过垂足C 的直线为轴建立的坐标系。

例4：已知四边形ABCD 满足1,2AD BC BA AD DC BC a ====∥，E 是BC 中点，将BAE 翻折成1B AE ，使得平面1B AE ⊥平面AECD ，F 为1B D 中点思路：在处理翻折问题时，首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置关系不变，这些都是作为已知条件使用的。

本题在翻折时，BAE 是等边三角形，四边形AECD 为60的菱形是不变的，寻找线面垂直时，根BD据平面'B AE ⊥平面AECD ，结合'B AE 是等边三角形，可取AE 中点M ，则可证'B M ⊥平面AECD ，再在四边形AECD 找一组过M 的垂线即可建系 解：取AE 中点M ，连结'B M'B AE 是等边三角形 'B M AE ∴⊥平面'B AE ⊥平面AECD'B M ∴⊥平面AECD ，连结DM '',B M ME B M MD ∴⊥⊥四边形AECD 为60的菱形 ADE ∴为等边三角形DM AE ∴⊥',,B M MD ME ∴两两垂直如图建系，设AB 为单位长度'11333,0,0,,0,0,0,,0,1,,0,0,0,22222A E D C B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭F 为'B D 中点 330,,44F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭例5：如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线,AC BD 交于点,4,3,4O OA OB OP ===，且OP ⊥平面ABCD ，点M 为PC 的三等分点（靠近P ），建立适当的直角坐标系并求各点坐标思路：由OP ⊥平面ABCD ，可得OP 作为z 轴，在底面上可利用菱形对角线相互垂直的性质，选取,OB OC 作为,x y 轴。

在所有点中只有M 的坐标相对麻烦，对于三等分点可得13PM PC =，从而转化为向量关系即可求出M 坐标解：OP ⊥平面ABCD ,OP OB OP OC ∴⊥⊥菱形ABCD OB OC ∴⊥ ,,OP OB OC ∴两两垂直以,,OP OB OC 为坐标轴如图建系可得：()()()()()0,0,4,3,0,0,0,4,0,0,4,0,3,0,0P B C A D -- 设(),,M x y z 由13PM PC =可得：13PM PC = ()(),,4,0,4,4PM x y z PC =-=-MFA B'EDCMA EDC00443348433x xy yz z⎧⎧⎪⎪==⎪⎪⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪⎪⎪-=-=⎪⎪⎩⎩480,,33M⎛⎫∴ ⎪⎝⎭小炼有话说：（1）底面是菱形时要注意对角线相互垂直的性质（2）对于一条线段上的某点分线段成比例，可以利用向量关系将该点坐标计算出来例6：如图所示的多面体中，已知正方形ABCD与直角梯形BDEF所在的平面互相垂直，EF BD∥，,ED BD⊥1AD EF ED===，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标思路：题目已知面面垂直，从而可以找到DE与底面垂直，再由底面是正方形，可选,AD DC 为,x y轴，图中F点坐标相对麻烦，可以用投影法和向量法计算得到解：平面EFBD⊥平面ABCD又因为直角梯形BDEF ED DB∴⊥ED∴⊥平面ABCD正方形ABCD AD BD∴⊥,,ED DA DC∴两两垂直以,,DE DA DC为轴建立直角坐标系坐标轴上的点：)()(,,A C E底面上的点：)BF点两种确定方式：①可看其投影，落在BD中点处22⎛⎫⎪⎝⎭，且高度为1，所以F22⎛⎫⎪⎝⎭②设(),,F x y z()(),,1,2,EF x y z DB∴=-=12EF DB=222210xy Fz⎧=⎪⎪⎛⎫⎪∴=⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪-=⎪⎪⎩综上所述：)()()),,0,0,1,,22A C EB F⎛⎫⎪⎝⎭例7：如图，在三棱柱111ABC A B C-中，H是正方形11AA B B的中心，11AA C H=⊥平面11AA B B，1C H =思路：1C H ⊥平面11AA B B ，从而1C H 可作z 轴，只需在平面11AA B B 找到过H 的两条垂线即可建系（两种方案），对于坐标只有C 坐标相对麻烦，但由11C C A A =可以利用向量进行计算。