2020年四川省眉山市仁寿县中考数学调研试卷（6月份）一．选择题（共12小题）1．2020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．D．2．预计到2025年我国高铁运营里程将达到385000千米，将数据385000用科学记数法表示为（）A．3.85×106B．3.85×105C．38.5×105D．0.385×1063．下列等式一定成立的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．（﹣ab3）2＝ab6C．（﹣x）3÷（﹣x）2＝﹣x D．4．一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（）A．中B．考C．顺D．利5．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2＝（）A．15°B．25°C．30°D．35°6．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（）A．3B．﹣3C．D．﹣7．小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）A．平均数B．中位数C．方差D．众数8．下列命题为假命题的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形B．相似三角形的面积比等于相似比的平方C．位似图形一定是相似图形D．顺次连结菱形四边中点所形成的四边形是正方形9．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P＝40°，则∠B＝（）A．15°B．20°C．25°D．30°10．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m＞﹣3C．m＞2D．m＞﹣211．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，下列说法中错误的是（）A．图形顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝2B．当x＜2时，y的值随x的增大而减小C．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到D．图象与x轴的两个交点之间的距离为212．已知如图，在正方形ABCD中AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，将△AED绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG交AF于M，则下面结论：①△AGF≌△AEF；②DE+BF＝EF；③BF＝；④，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共6小题）13．分解因式：ax2﹣a＝．14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是．15．一个扇形的弧长是9πcm，半径是18cm，则此扇形的面积为cm216．在边长为1的正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos A＝．17．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为．18．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝．三．解答题（共8小题）19．计算：3tan30°+（﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣2|．20．先化简再求值：，其中x＝2﹣．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：（1）△ADF≌△ECF．（2）四边形ABCD是平行四边形．22．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．23．在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是事件；（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是；（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．24．某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：商品甲乙进价（元/件）x+60x售价（元/件）200100若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同．（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件（a≥30），设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值．25．如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B、C重合）．连结AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，＝K．①求证：Rt△BFG∽Rt△DEA；②连结BE、DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，求证：tanα＝K tanβ．③设正方形ABCD的边长为1，线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积为S1和S2，求的最大值．26．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使P A+PC的值最小，求点P的坐标．（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．2020年四川省眉山市仁寿县中考数学调研试卷（6月份）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．2020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．D．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．故选：B．2．预计到2025年我国高铁运营里程将达到385000千米，将数据385000用科学记数法表示为（）A．3.85×106B．3.85×105C．38.5×105D．0.385×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：将数据385000用科学记数法表示为：3.85×105．故选：B．3．下列等式一定成立的是（）A．a2+b2＝（a+b）2B．（﹣ab3）2＝ab6C．（﹣x）3÷（﹣x）2＝﹣x D．【分析】根据完全平方公式，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法，二次根式的性质分别求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A、a2+b2≠（a+b）2，a2+2ab+b2＝（a+b）2，故本选项不符合题意；B、结果是a2b6，故本选项不符合题意；C、结果是﹣x，故本选项符合题意；D、结果是π﹣3，故本选项不符合题意；故选：C．4．一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，“你”字对面的字是（）A．中B．考C．顺D．利【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“祝”与“考”是相对面，“你”与“顺”是相对面，“中”与“利”是相对面．故选：C．5．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2＝（）A．15°B．25°C．30°D．35°【分析】利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠3＝55°，∵∠4＝90°，∴∠2＝180°﹣90°﹣55°＝35°，故选：D．6．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（）A．3B．﹣3C．D．﹣【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝3，mn＝﹣1，再把转化成含m+n和mn的代数式的形式，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，所以＝．故选：B．7．小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）A．平均数B．中位数C．方差D．众数【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较小明和小强同学自己最近10次“一分钟跳绳”的成绩的稳定程度，应选用的统计量是方差．【解答】解：能用来比较两人成绩稳定程度的是方差，故选：C．8．下列命题为假命题的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形B．相似三角形的面积比等于相似比的平方C．位似图形一定是相似图形D．顺次连结菱形四边中点所形成的四边形是正方形【分析】根据菱形的判定、相似三角形的性质、相似图形、正方形的判定判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；B、相似三角形的面积比等于相似比的平方，是真命题；C、位似图形一定是相似图形，是真命题；D、顺次连结菱形四边中点所形成的四边形是矩形，不一定是正方形，原命题是假命题；故选：D．9．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P＝40°，则∠B＝（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】由切线的性质得：∠P AB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算∠POA＝50°，最后利用同圆的半径相等得结论．【解答】解：∵P A切⊙O于点A，∴∠P AB＝90°，∵∠P＝40°，∴∠POA＝90°﹣40°＝50°，∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO＝25°，故选：C．10．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m＞﹣3C．m＞2D．m＞﹣2【分析】将两个方程相加整理得出x+y＝m+3，再根据题意列出关于m的不等式，解之可得．【解答】解：将两个方程相加可得2x+2y＝2m+6，∴x+y＝m+3，∵x+y＞0，∴m+3＞0，解得m＞﹣3，故选：B．11．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2﹣1，下列说法中错误的是（）A．图形顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝2B．当x＜2时，y的值随x的增大而减小C．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到D．图象与x轴的两个交点之间的距离为2【分析】根据抛物线图象的性质和特点即可求解．【解答】解：A．图形顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2，故A错误，符合题意；B．抛物线开口向上，故当x＜2时，y的值随x的增大而减小，正确，不符合题意；C．y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到y＝（x﹣2）2﹣1，故C正确，不符合题意；D．令y＝（x﹣2）2﹣1＝0，解得：x＝1或3，故图象与x轴的两个交点之间的距离为2正确，不符合题意；故选：A．12．已知如图，在正方形ABCD中AD＝4，E，F分别是CD，BC上的一点，且∠EAF＝45°，EC＝1，将△AED绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG交AF于M，则下面结论：①△AGF≌△AEF；②DE+BF＝EF；③BF＝；④，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用全等三角形的性质条件勾股定理求出BF的长，再利用相似三角形的性质求出△BMF的面积即可．【解答】解：∵AG＝AE，∠F AE＝∠F AG＝45°，AF＝AF，∴△AGF≌△AEF（SAS），故①正确，∴EF＝FG，∵DE＝BG，∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故②正确，∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，∴DE＝3，设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，解得x＝，∴BF＝，故③正确，∵BM∥AG，∴△FBM∽△FGA，∴＝（）2，∴S△FBM＝，故④正确，故选：D．二．填空题（共6小题）13．分解因式：ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）．【分析】应先提取公因式a，再利用平方差公式进行二次分解．【解答】解：ax2﹣a，＝a（x2﹣1），＝a（x+1）（x﹣1）．14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是k≥﹣1．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（﹣k）≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4（﹣k）≥0，解得k≥﹣1．故答案为k≥﹣1．15．一个扇形的弧长是9πcm，半径是18cm，则此扇形的面积为81πcm2【分析】根据扇形的面积的计算公式：弧长×半径÷2，代入对应数值进行计算即可．【解答】解：根据题意，S扇形＝lr＝×9π×18＝81π（cm2），故答案为：81π．16．在边长为1的正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos A＝．【分析】如图，过点C作CD⊥AB于D．利用勾股定理求出AC即可解决问题．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于D．∵AC＝＝5，在RtACD中，cos A＝＝，故答案为．17．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为10%．【分析】等量关系为：原售价×（1﹣降低率）2＝降低后的售价，依此列出方程求解即可．【解答】解：设平均每月降价的百分率为x，依题意得：1000（1﹣x）2＝810，化简得：（1﹣x）2＝0.81，解得x1＝0.1，x2＝1.9（舍）．所以平均每月降价的百分率为10%．故答案为10%．18．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝．【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD＝3AD，∴D（，b），∵点D，E在反比例函数的图象上，∴＝k，∴E（a，），∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣•﹣•﹣••（b﹣）＝9，∴ab﹣﹣+＝9，∴ab+k＝24，∵＝k，∴k＝，故答案为：．三．解答题（共8小题）19．计算：3tan30°+（﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣2|．【分析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3×+1﹣4+2﹣＝+1﹣4+2﹣＝﹣1．20．先化简再求值：，其中x＝2﹣．【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．【解答】解：＝[﹣（x+1）]•＝•＝＝＝﹣，当x＝2﹣时，原式＝﹣＝2﹣1．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：（1）△ADF≌△ECF．（2）四边形ABCD是平行四边形．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DAF＝∠E，根据线段中点的定义得到DF＝CF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AD＝EC，等量代换得到AD＝BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，在△ADF与△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）；（2）∵△ADF≌△ECF，∴AD＝EC，∵CE＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．22．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．【分析】过点B作BD⊥AC于点D，根据题意得到∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AB＝80，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，由题意，得：∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AB＝80，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，∴BD＝AB＝40，在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝40，∴BC＝BD＝40，答：BC的距离是40海里．23．在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件；（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是；（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．【分析】（1）直接利用必然事件以及怒不可能事件的定义分别分析得出答案；（2）直接利用概率公式求出答案；（3）首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案．【解答】解：（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件；故答案为：必然，不可能；（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是：；故答案为：；（3）如图所示：，由树状图可得：一共有20种可能，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为：＝；则选择乙的概率为：，故此游戏不公平．24．某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：商品甲乙进价（元/件）x+60x售价（元/件）200100若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同．（1）求甲、乙两种商品的进价是多少元？（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件（a≥30），设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值．【分析】（1）根据用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同列出方程，解方程即可；（2）根据总利润＝甲种商品一件的利润×甲种商品的件数+乙种商品一件的利润×乙种商品的件数列出w与a之间的函数关系式，再根据一次函数的性质即可求出w的最小值．【解答】解：（1）依题意可得方程：＝，解得x＝60，经检验x＝60是方程的根，∴x+60＝120元，答：甲、乙两种商品的进价分别是120元，60元；（2）∵销售甲种商品为a件（a≥30），∴销售乙种商品为（50﹣a）件，根据题意得：w＝（200﹣120）a+（100﹣60）（50﹣a）＝40a+2000（a≥30），∵40＞0，∴w的值随a值的增大而增大，∴当a＝30时，w最小值＝40×30+2000＝3200（元）．25．如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B、C重合）．连结AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，＝K．①求证：Rt△BFG∽Rt△DEA；②连结BE、DF，设∠EDF＝α，∠EBF＝β，求证：tanα＝K tanβ．③设正方形ABCD的边长为1，线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积为S1和S2，求的最大值．【分析】①由正方形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝AB，可得∠DAE＝∠AGB，可证Rt△BFG∽Rt△DEA；②先判断出△ABG∽△DEA，进而得出＝K，再根据锐角三角函数即可得出结论；③先判断出S1＝S△ADH＝S△CHD，进而得出S△CHG＝﹣S△BHG，再判断出S△BHG＝K2S＝K2S1，进而得出S2＝S1﹣K（K﹣1）S1＝﹣（K2﹣K﹣1）S1，即可得出结论．△AHD【解答】证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD＝BC＝AB，∠BAD＝90°，∴∠DAE＝∠AGB，又∵∠AED＝∠BFG＝90°，∴Rt△BFG∽Rt△DEA；②∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED＝∠BF A＝90°，∴∠ADE+∠DAG＝90°，又∵∠BAG+∠DAG＝90°，∴∠BAG＝∠DAE，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AE＝BF，∵∠BAG＝∠EDA，∠ABG＝∠DEA，∴△ABG∽△DEA，∴，∴，在Rt△DEF中，EF＝DE•tanα，在Rt△BEF中，EF＝BF•tanβ，∴DE•tanα＝BF•tanβ，∴tanα＝•tanβ＝•tanβ＝K tanβ；③如图，如图，连接CH，∵BD是正方形的对角线，∴S1＝S△ADH＝S△CHD，∴S2＝S四边形CDHG＝S△CHD+S△CHG＝S1+S△CHG，∵＝＝，∴S△CHG＝﹣S△BHG，∴S2＝S1+（﹣S△BHG），∵△ADH∽△BHG，∴＝（）2＝K2，∴S△BHG＝K2S△AHD＝K2S1，∴S2＝S1﹣K（K﹣1）S1＝﹣（K2﹣K﹣1）S1，∴＝﹣（K2﹣K﹣1）＝﹣（K﹣）2+，∴K＝时，的最大值为．26．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使P A+PC的值最小，求点P的坐标．（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点代入求出a、b、c的值即可；（Ⅱ）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（Ⅲ）分点N在x轴下方和上方两种情况进行讨论．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣；（Ⅱ）∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，当x＝2时，y＝1﹣＝﹣，∴P（2，﹣）；（Ⅲ）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D＝OC＝，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣＝，解得x＝2+或x＝2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．。