高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。

希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和）1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1212...nr r n r S a b a b a b =+++。

不等式 1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.nnk n n r k r n n a b a b a b a b +≤+（1-1） 事实上，()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和nr b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...nr r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++ 有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b c a b ca b c abc ++≥故 3()a b c a b c a b c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设a b c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥ 根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++ 222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333a b c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列.求证：1111r snnn ni j r s r s r s a b a b r sr s====≥++∑∑∑∑.（1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1snj r s b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥因为 12...n b b b ≤≤≤ ， 且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式 1nsr s b d r s=≤+∑又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11r nnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0） 故 11111r s sr n nn nni j j ir i r r s r s r a b b a a d r sr s=======++∑∑∑∑∑11111n n nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故 原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式. 其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n ，12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数.证明： 先证 ()()G n A n ≤. 记c = ii a b c=， 则 原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...(...)1n n nb b b a a ac == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥ 下证 ()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号. 下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有 x y a a +≥=从而 log ()log log 22x y a a a x ya a ++≤=+ 下证128x y +≤ ， 即 14x y +≤。

又因为 2111()244x y x x x +=-=--+≤，等号在x=12(这时y=14)时取得 所以 1log ()log 28x y a a a a +≤+ .例5（IMO ）设a,b,c 是正实数，且满足abc=1. 证明：111(1)(1)(1)1a b c b c a-+-+-+≤证明：令 ,,y y z a b c xzx===，其中x,y,z 是正实数，将原不等式变形为()()()x y z y z x z x y xyz -+-+-+≤ （2-1）记 ,,u x y z v y z x w z x y =-+=-+=-+，注意到u,v,w任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数.如果恰有一个负数，那么0uvw xyz≤<，（2-1）式成立.如果这三个数都大于0，由算术—几何平均不等式1()2x y z y z x x≤-++-+=y≤z于是xyz≤即uvw xyz≤，（2-1）式得证.例6已知12,,...,0na a a>，且12 (1)na a a+++=.求证：1223131211...1...1 (21)nn n naa a na a a a a a a a a n-++≥++++++++++++-.思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为112(1)22n nii ii iaa a===---∑∑.左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项22ia-可看为倒数形式，尝试用调和平均.证明：不等式左边化为112(1)22n nii ii iaa a===---∑∑，对12222,, (222)a a a ---，利用()()A n H n ≥有111222n ini i ii a n a n a ==≥--∑∑即 22211221122122nini i i a n n n n n n a ==-≥==---∑∑ 所以 2111222(1)22221nn ni i i i i i i a a n n n a a n ===-=-=-≥----∑∑∑21n n =- .3．柯西不等式定理3 设i a ，i b R ∈（i=1,2,…n ）,恒有不等式222111.()nnniii i i i i a b a b ===≥∑∑∑，当且仅以上给出了柯西不等式的几种证法。